主题二 第三章 第5节 利用导数证明不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮课时作业（新教材，人教A版）

第5节　利用导数证明不等式 1.(2022·乌鲁木齐模拟)已知f(x)=ln x-x,f′(x)为f(x)的导函数,g(x)=. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:当x≥1时,g(x)≤; (3)求证:当x≥1时,f(x)≤f′(x)+g(x)-成立. 2.设函数f(x)=+x. (1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x-y=0垂直,求a 的值; (2)当a>1时,证明:f(x)≥3-. 3.(2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=aln x+x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=1时,证明:xf(x)<ex. 4.已知函数f(x)=a(x2-x)-ln x(a∈R). (1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:当x>1时,>. 5.已知f(x)=e-2x+2x+aln(x+1). (1)若f(x)的图象在x=0处的切线过点P(-1,0),求a的值; (2)若x>0,-2<a<0,求证:f(x)>(x+1)a. 6.已知函数f(x)=axex-(x+1)2(a∈R,e为自然对数的底数). (1)若f(x)在x=0处的切线与直线y=ax垂直,求a的值; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)当a≥时,求证:f(x)≥ln x-x2-x-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5节　利用导数证明不等式 1.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=-1=, 令f′(x)>0,解得0<x<1, 令f′(x)<0,解得x>1, 所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)证明:g(x)-=-=, 令h(x)=ex-ex,x≥1,则h′(x)=e-ex, 当x≥1时,h′(x)≤0, 则h(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以h(x)≤h(1)=0,即ex-ex≤0, 则g(x)≤,原不等式得证. (3)证明:令t(x)=f′(x)+g(x)-f(x)-=-ln x+x--1,x≥1, 则t′(x)=--++1,x≥1, 当x≥1时,ex≥ex,则t′(x)≥(-1)2≥0, 所以t(x)在[1,+∞)上单调递增,则t(x)≥t(1)=0,原不等式得证. 2.(1)解:函数f(x)=+x的定义域为R, f′(x)=-+1. 因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x-y=0垂直, 所以f′(0)=-+1=-1,解得a=2. (2)证明:f′(x)=-+1=(ex-a). 当a>1时,令f′(x)>0,可得x>ln a; 令f′(x)<0,可得x<ln a. 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增. 所以f(x)≥f(ln a)=1+ln a. 当a>1时,有ln a>0. 因为1+ln a-(3-)=ln a+-2≥2-2=0(当且仅当ln a=,即a=e时,“=”成立), 所以1+ln a≥3-,即f(x)≥3-. 3.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=+1=. 当a≥0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,若x∈(-a,+∞),则f′(x)>0; 若x∈(0,-a),则f′(x)<0, 所以f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. (2)证明:当a=1时,要证xf(x)<ex, 即证x2+xln x<ex,即证1+<. 令函数g(x)=1+,则g′(x)=. 令g′(x)>0,得x∈(0,e); 令g′(x)<0,得x∈(e,+∞). 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(e)=1+, 令函数h(x)=,则h′(x)=. 当x∈(0,2)时,h′(x)<0; 当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0, 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以h(x)min=h(2)=. 因为-(1+)>0, 所以h(x)min>g(x)max, 即1+<,从而xf(x)<ex得证. 4.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞), 当a=1时,f′(x)=2x-1-=, 因为x>0,所以2x+1>0, 所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (2)证明:由(1)知,当a=1,x>1时,恒有f(x)>f(1),即x2-x>ln x, 所以当x>1时,0<ln x <