专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.相似三角形中对应线段比的性质定理（难点） 知识点2.相似三角形的周长比、面积比（重点） 知识点3.相似多边形的性质（拓展） 【方法二】 实例探索法 题型1.利用相似三角形的性质求线段的长度 题型2.利用相似三角形的性质解面积问题 题型3.利用相似三角形的性质解决实际问题 题型4.动态探究题 【方法三】 差异对比法 易错点1：弄错相似比的前后项出错 易错点2：误认为相似三角形的面积比等于相似比出错 【方法四】 仿真实战法 考法. 相似三角形的性质 【方法五】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解相似三角形的性质：相似三角形对高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能运用相似三角形的性质解决简单的问题。 2. 类比相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，猜想相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体验类比思想。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.相似三角形中对应线段比的性质定理（难点） 1.性质定理： 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 【例1】如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长． A B C D E F G H P 【变式1】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长． 【变式2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，,的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长． 2.性质定理的证明 【例2】求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【变式1】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【变式2】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 知识点2.相似三角形的周长比、面积比（重点） 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【例3】若∽，与的相似比为1:2，则与的周长比为( ) （A）1:4 （B）1:2 （C）2:1 （D） 【变式1】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是 ． 【变式2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，，求BC和A1B1的长． 【变式3】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长． A B C D P 【例4】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值． A B C D E 【变式】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 知识点3.相似多边形的性质（拓展） 1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3.相似多边形对应对角线的比等于相似比。 4.相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。 【例5】（2023秋·全国·九年级专题练习）两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·九年级课前预习）两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则 ． 【变式3】（2022秋·九年级单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【方法二】实例探索法 题型1.利用相似三角形的性质求线段的长度 1.如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． A B C P Q 2.如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上． （1）求证：∽； （2）求BF的长． A B C D E F 题型2.利用相似三角形的性质解面积问题 3.如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DE