主题四 第十章 第5节 离散型随机变量的数字特征-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（新教材，北师大版）

第5节　离散型随机变量的数字特征 [课程标准要求] 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念. 3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. 1.离散型随机变量 在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示,在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化,像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量,随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示. 取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)分布列的概念及表示 ①若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).称上式为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列. ②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示,如表, xi x1 x2 … xn … P(X=xi) p1 p2 … pn … ③随机变量X服从这一分布列,可记作X～. (2)分布列的性质 根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有两个性质: ①pi>0,i=1,2,…,n,…; ②p1+p2+…+pn+…=1. 3.离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示, X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX=x1p1+x2p2+…+xiPi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). (2)统计意义:均值EX刻画的是X取值的“中心位置”,反映了随机变量取值的平均水平. (3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)= aEX+b. 4.离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义:若离散型随机变量X的分布列如表所示, X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,记作σX. (2)统计意义:随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,随机变量偏离于均值的平均水平越小;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散. (3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=a2DX. 1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量. 2.方差与均值的关系:DX=EX2-(EX)2. 1.抛掷两枚骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的试验结果为(　D　) A.一枚1点、一枚3点 B.两枚都是4点 C.两枚都是2点 D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点 解析:抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,则X=4表示的随机试验结果是一枚是1点,一枚是3点或者两枚都是2点. 2.(2022·广西桂林模拟)随机变量X的分布列如表所示, X -1 0 1 P a c 则P(|X|=1)等于(　C　) A. B. C. D. 解析:P(|X|=1)=a+c=1-=. 3.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 设Y=2X+1,则EY=　　　　.  解析:EX=-+=-, EY=E(2X+1)=2EX+1=-+1=. 答案: 4.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9,设其罚球一次的得分为X,则X的方差DX=　　　　.  解析:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1. 因为P(X=1)=0.9,P(X=0)=1-0.9=0.1, 所以EX=1×0.9+0×0.1=0.9, DX=(1-0.9)2×0.9+(0-0.9)2×0.1=0.09. 答案:0.09 5.已知离散型随机变量X的取值为有限个,EX=,DX=,则EX2=　　　. 解析:因为EX=,DX=, 由DX=EX2-(EX)2, 得EX2=DX+(EX)2=+=. 答案: 离散型随机变量的分布列性质及简单应用 1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X 0 1 P 9a2-a 3-8a 则常数a的值为(　A　) A. B. C.或 D.-或- 解析:由分布列的性质可知 解得a=. 2.已知m,n∈(0,1),离散型随机变量X的分布列如表所示,