2023届高考物理二轮复习讲义：解题方法专题——极值法、图像法

极值法

该专题主要讲解高考物理中常见的极值问题求解方法，试题题干中出现“至少”、“最大”、“最短”、“最长”等关键词的一般就属于极值类问题。此类问题可以使用相关数学知识、临界条件、图像等方法来解决。极值问题是高考的热点内容之一，涉及到的知识点较多、综合性较大，考查学生的分析推理、解决物理问题的能力。

 利用数学方法求极值

如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（　　）

A．轻绳的合拉力大小为  B．轻绳的合拉力大小为

C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小D．轻绳的合拉力最小时，地对石墩的摩擦也最小

打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时

间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。（1）求C的质量；

（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；

（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。

所谓利用数学方法求极值，即根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式写出需求量与自变量间的数学函数关系式，再利用函数关系式讨论出现极值的条件和极值的大小，常见的利用函数求极值的方法有：

1．三角函数法：

①y＝asinθ＋bcosθ＝sin(φ＋θ)，当φ＋θ＝90°时，函数有最大值。最大值ymax＝，此时θ＝90°－arctan；

②y＝asinθcosθ＝asin2θ，当θ＝45°时，有最大值ymax＝；

2．二次函数法：y＝ax2＋bx＋c，当a＞0时，函数有极小值ymin＝；当a＜0时，函数有极大值ymax＝；

3．不等式法：y＝（a＞0、b＞0），当ab＝x2时，有最小值ymin＝；

4．导数法：对相应函数表达式进行求导，当导数值为零时，函数出现极值。

 利用临界条件求极值

如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，

盘面上离转轴距离0.1m处有一质量为m＝1kg的小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为μ＝0.8（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为37°（已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。

（1）若ω＝1rad/s，求当小物体通过最高点时所受摩擦力的大小；

（2）若ω＝1rad/s，求当小物体通过与圆心等高处时所受摩擦力的大小；（保留两位有效数字）（3）求符合条件的ω的最大值．

汽车在晴天干燥沥青路面上以108km/h的速度匀速行驶时，刹车距离为50m；货车在晴天干燥沥青路面上以72km/h的速度行驶时，刹车距离为40m。若雨天时在沥青路面上汽车与货车所受阻力均为晴天时的0.8倍，则其他条件不变的情况下，雨天时汽车与前方货车在沥青路面上同时刹车的最小安全距离约为（    ）

A．12m B．16m C．20m D．24m

使用临界条件求极值的问题很多：

①追及问题中，两车相距最近（或最远）的临界条件是速度相等；

②圆盘上的物体刚要发生滑动时的临界条件是静摩擦力达到最大值，可以求出此时圆盘的最大角速度；③滑块滑板问题中，滑块刚好不滑离木板的临界条件是滑到木板边缘时，刚好共速，往往可以求木板的最小长度；

④有界磁场中，不出磁场的临界往往是轨迹与磁场边界相切，可以求半径的最大值；

⑤物体做斜抛或类斜抛这类匀变速曲线运动时，速度最小值的临界条件是物体所受合力与速度方向垂直，据此条件可求解相关问题。

 利用图像求极值

如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当线拉力最小时，推力F等于（    ）