14.2 勾股定理的应用（Word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（华东师大版）

14.2 勾股定理的应用 1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点) 2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点) 一、情境导入 一个门框的宽为1.5m，高为2m，如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？ 二、合作探究 探究点：勾股定理的应用 【类型一】 勾股定理的直接应用 如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA=CD，求物品中转站与车站之间的距离． 解析：根据题意利用勾股定理易得BD长，再用x表示出线段CD，CB的长，根据Rt△ABC的各边利用勾股定理即可求得商店与车站之间的距离． 解：∵AB⊥l于B，AB=3千米，AD=5千米．在Rt△ABD中：BD2=AD2−AB2=52−32=16，即BD=4（千米）．设CD=AC=x千米，则CB=（4−x）千米，Rt△ABC中：AC2=BC2+AB2 即x2=（4−x）2+32，解得x=3.125． 答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米． 方法总结：从实际问题中抽象出直角三角形模型，用未知数表示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程解决问题. 【类型二】 运用勾股定理解决折叠中的有关计算 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是(　　) 　　　 A．1.5　　　B．2　　　C．2.25　　　D．2.5 解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2＝B′M2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B. 方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答． 【类型三】 勾股定理解决能否通过问题 某工厂为扩大生产，购置一大型机械，其外包装高2.7米，长2米，宽1.6米，车间门的形状如图，问这个大型机械能否通过车间大门？ 解析：根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可判定． 解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD2=OC2−OD2=1−=0.36，即CD=0.6（m）， CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.7，∴卡车能通过此门． 方法总结：解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【类型四】 利用勾股定理解决最短距离问题 如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？ 解析：长方体的展开不止一种情况，因此要分情况画出展开图并分别求出最短路径，再比较几种最短路径，然后找出最短的一条即为最后答案. 解：分三种情况比较最短距离：如图①所示，AM 2＝102+(20+5)2=725；如图②所示，AM2＝202+(10+5)2=625；如图③所示，AM 2＝52+(20+10)2=925．∵925>725＞625，∴蚂蚁沿着图②所示的路线爬路程最短，易得AM=25 cm,即最短距离为25 cm. 答：需要爬行的最短距离是25cm. 方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而进行比较取其最小值即可． 三、板书设计 勾股定理的应用 勾股定理直接应用；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想，能否通过． 通过观察图形，探索图形间的关系，培养学生的空间观念．在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．在利用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学学习的魅力. 学科网（北京）股份有限公司 $$