17.4 一元二次方程的应用（第1课时 二次三项式的因式分解与根与系数的关系 ）（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

17.4 一元二次方程的应用 第1课时 二次三项式的因式分解与根与系数的关系 1.知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的根之间的联系；会通过求一元二次方程的根在实数范围内将二次三项式分解因式; 2.会分析实际问题中的数量关系和列一元二次方程解简单的应用题. 知识点一 二次三项式的因式分解 1. 二次三项式的因式分解 如果一元二次方程（a≠0）实数根是, 那么二次三项式的分解式为 2. 利用公式法将二次三项式分解因式的步骤 (1) 求二次三项式所对应的一元二次方程 （a≠0）的两个根; (2) 将求得的的值代入中. 注意： 1. 有些二次三项式可用十字相乘法进行因式分解； 2.当时，分解式中的因不要漏写.当时，,此时称 为完全平方式. 3.把二次三项式（a≠0）分解因式时， (1)如果,那么先求出方程的两个实数根，再写出分解式. (2)如果,那么方程没有实数根，在实数范围内不能因式分解 即学即练1 在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 即学即练2 （2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式 ． 知识点二 一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 2.方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 3.以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 4.与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1）      （2）       （3） 即学即练2 一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 题型一 换元法因式分解 例1 在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 举一反三1 在实数范围内分解因式：． 举一反三2 在实数范围内分解因式：；         题型二 主元素法分解因式 主元素法： 当二次三项式式中有两种字母时,可选一个字母为主元素,另一字母为常数. 例如分解因式 以为主元素:. 所以 以为主元素: 所以 例2 （2021秋·上海奉贤·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2x2-3xy-4y2． 举一反三1 在实数范围内分解因式： 举一反三2 在实数范围内把多项式分解因式所得的结果是 ． 题型三 实数范围内分解因式求参数取值范围 例3 二次三项式，当取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)不能分解； (3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 举一反三1 若多项式在实数范围内不能分解因式，则能取的最小整数值是多少？ 举一反三2 二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 题型四 一元二次方程的根与系数的关系推论运用 例4 已知，是方程的两个根，则的值为 ． 举一反三1 已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 举一反三2 （2023春·安徽六安·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若此方程的两根为，，且，为矩形的两对角线长，求k． (3)若k为正整数，此方程的两根为，，求． 题型五 根据一元二次方程根的情况求参数 例5 已知关于的方程．如果方程有两个实数根，，当时，求出的值． 举一反三1 （2023秋·福建福州·九年级福建省福州则徐中学校考开学考试）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，当时，求m的值． 举一反三2 （2021秋·上海·八年级期中）已知、分别是等腰三角形的一腰和底边的长，求证：关于的二次三项式一定能在实数范围内分解因式. 题型六 根据一元二次方程根的情况求代数式的值 例6 （2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 举一反三1 （2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）已知和是方程的两个根，则的值是（    ） A．