专题13探索三角形相似的条件（5个知识点4种题型1种中考考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

专题13探索三角形相似的条件（5个知识点4种题型1种中考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.相似三角形的概念（重点） 知识点2.相似三角形的判定方法1（重点） 知识点3.相似三角形的判定方法2（重点）（难点） 知识点4.相似三角形的判定方法3（重点） 知识点5.黄金分割的有关概念 【方法二】 实例探索法 题型1.相似三角形的判定 题型2.相似三角形判定与性质的综合应用 题型3.通过判定三角形相似得到比例式 题型4.通过判定三角形相似说明黄金分割点 【方法三】 仿真实战法 考法. 相似三角形的判定 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 了解相似三角形的概念。 2. 熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。 3. 能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。 4. 了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.相似三角形的概念（重点） 定义 三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 如图：在ABC和DEF中， 相似三角形的“三性”：对应性、顺序性、传递性 【例1】下列能够相似的一组三角形为( ). 　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形 　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 知识点2.相似三角形的判定方法1（重点） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在与中，如果、，那么． 常见模型如下： 【例2】如图，与中， ，；证明：．    知识点3.相似三角形的判定方法2（重点）（难点） 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 【例3】已知如图，D，E分别是的边上的点，． 求证：． 知识点4.相似三角形的判定方法3（重点） 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 【例4】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 知识点5.黄金分割的有关概念 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【例5】已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 【变式1】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【变式2】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接． 在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． （1）求线段、的长； （2）求证：； （3）请指出图中的黄金分割点． 【方法二】实例探索法 题型1.相似三角形的判定 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知如图，D，E分别是的边上的点，．求证：． 2．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形．    3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点，分别在的边，上，且，，，，求证：．    4．（2023春·湖南衡阳·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、E、D在同一条直线上，，，求证：．    5．（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图，点是的边上的一点，点为上的一点，若，，求证：．    6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 7．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，且，求证：．      8.如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足．求证：∽． A B C D E 题型2.相似三角形判定与性质的综合应用 9.如图，已知，下列条件中不能判断和相似的是（    ） A． B．平分 C． D． 10.如图，矩形的两条对角线相交于点O，，垂足为E，F是的中点，连接交于点P，那么 ． 11.已知：如图，在中，，，，点D 在BC边上， 且． （1）求AD的长； （2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证：∽． A B C D E F 12.如图，在中，为上一点，且满足． （1）求证：； （2）当时，，，