第2章 2.2.3 一元二次不等式的解法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.2.3　一元二次不等式的解法

[教材梳理]

导学1　利用因式分解解一元二次不等式

　分解因式x2－2x－3结果是？

[提示]　(x－3)(x＋1).

　不等式x2－2x－3＞0的解集是？

[提示]　{x|x＞3或x＜－1}

◎结论形成

1．一元二次不等式的概念：形如__ax2＋bx＋c＞0__(＜0，≥0，≤0)称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数且a≠0.

2．一元二次不等式的解集：如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集为__(x1，x2)__，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集为__(－∞，x1)∪(x2，＋∞)__．

导学2　利用配方法解一元二次不等式

　x2＜9的解集是？

[提示]　x2＜9⇔|x|＜3⇔－3＜x＜3，∴解集为(－3，3).

　x2＞9的解集是？

[提示]　x2＞9⇔|x|＞3⇔x＞3或x＜－3，∴解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞).

◎结论形成

一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(1)__(x－h)2＞k__或(2)__(x－h)2＜k__的形式．

当k≥0时，(1)式的解集为(h＋，＋∞)∪(－∞，h－)；(2)式的解集为(h－，h＋)；

当k＜0时，(1)式的解集为R；(2)式的解集为∅.

导学3　分式不等式的解法

　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？

[提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．

◎结论形成

　分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式__＞0(≥0)或＜0(≤0)__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0可以变形为a(x－1)·(x＋1)＝0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1).(　　)

(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式．(　　)

(4)若集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝{x|－1＜x＜2}．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　　)

A．∅

B．R

C．(－∞，1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析　2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，所以x∈R.

答案　B

3．不等式x2－3x－10<0解集为(　　)

A．　　　　　 B．

C．    D．

解析　方程x2－3x－10＝0的解为x1＝－2，x2＝5，所以不等式x2－3x－10<0解集为.

答案　D

4．不等式>0的解集是(　　)

A．(－3，2) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)

解析　由>0⇔(x－2)(x＋3)>0，解得x>2或x<－3.

答案　C

题型一　不含参一元二次不等式的解法一题多变

　求下列不等式的解集．

(1)x2－10x－600>0；

(2)－2x2＋5x－2<0.

[解析]　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0，

因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞).

(2)因为－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋，

所以－2＋<0，即>.

所以x－>或x－<－，

解得x>2或x<.

所以原不等式的解集为∪(2，＋∞).

[规律方法]　

解一元二次不等式的一般步骤

第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数；

第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式；

第三步：写出不等式的解集．

[触类旁通]

1．求下列不等式的解集．

(1)4x2－4x＋1>0；

(2)－x2＋6x－10>0.

解析　(1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2，∴原不等式可化为(2x－1)2>0，

∴不等式的解集为∪.

(2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0，x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，

∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0，