第2章 2.2.3 一元二次不等式的解法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

2.2.3　一元二次不等式的解法 学业标准 素养目标 1.理解一元二次不等式的定义． 2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(重点) 3．了解简单的分式不等式，并会求其解集．(难点) 1.通过学习一元二次不等式的概念，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过利用因式分解、配方法求一元二次不等式的解集，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　利用因式分解解一元二次不等式 　分解因式x2－2x－3结果是？ [提示]　(x－3)(x＋1). 　不等式x2－2x－3＞0的解集是？ [提示]　{x|x＞3或x＜－1} ◎结论形成 1．一元二次不等式的概念：形如__ax2＋bx＋c＞0__(＜0，≥0，≤0)称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数且a≠0. 2．一元二次不等式的解集：如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集为__(x1，x2)__，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集为__(－∞，x1)∪(x2，＋∞)__． 导学2　利用配方法解一元二次不等式 　x2＜9的解集是？ [提示]　x2＜9⇔|x|＜3⇔－3＜x＜3，∴解集为(－3，3). 　x2＞9的解集是？ [提示]　x2＞9⇔|x|＞3⇔x＞3或x＜－3，∴解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). ◎结论形成 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(1)__(x－h)2＞k__或(2)__(x－h)2＜k__的形式． 当k≥0时，(1)式的解集为(h＋，＋∞)∪(－∞，h－)；(2)式的解集为(h－，h＋)； 当k＜0时，(1)式的解集为R；(2)式的解集为∅. 导学3　分式不等式的解法 　>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？ [提示]　等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． ◎结论形成 　分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式__＞0(≥0)或＜0(≤0)__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0可以变形为a(x－1)·(x＋1)＝0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1).(　　) (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式．(　　) (4)若集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝{x|－1＜x＜2}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　　) A．∅ B．R C．(－∞，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，所以x∈R. 答案　B 3．不等式x2－3x－10<0解集为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析　方程x2－3x－10＝0的解为x1＝－2，x2＝5，所以不等式x2－3x－10<0解集为. 答案　D 4．不等式>0的解集是(　　) A．(－3，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析　由>0⇔(x－2)(x＋3)>0，解得x>2或x<－3. 答案　C 题型一　不含参一元二次不等式的解法一题多变 　求下列不等式的解集． (1)x2－10x－600>0； (2)－2x2＋5x－2<0. [解析]　(1)因为x2－10x－600＝(x＋20)(x－30)，所以原不等式等价于(x＋20)(x－30)>0， 因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)因为－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋， 所以－2＋<0，即>. 所以x－>或x－<－， 解得x>2或x<. 所以原不等式的解集为∪(2，＋∞). [规律方法]　 解一元二次不等式的一般步骤 第一步：首先把各项系数变为整数，二次项系数变成正数； 第二步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式； 第三步：写出不等式的解集． [触类旁通] 1．求下列不等式的解集． (1)4x2－4x＋1>0； (2)－x2＋6x－10>0. 解析　(1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2，∴原不等式可化为(2x－1)2>0， ∴不等式的解集为∪. (2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0，x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， ∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0， ∴原不等式的解集为∅. 题型二　含参一元二次不等式的解法 一题多变 　不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a＜0)的解集为(　　) A． B． C．∪[1，＋∞)