第2章 2.1.1 等式的性质与方程的解集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学业标准 素养目标 1.了解等式的性质，并能进行应用．(重点) 2．会用十字相乘法进行因式分解．(重点) 3．能通过因式分解求方程的解集．(难点) 1.通过等式的性质和“十字相乘法”的学习，培养学生数学抽象等核心素养． 2．通过恒等式解方程，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　恒等式 　判断下列命题是否正确？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. [提示]　以上均正确，这些都是等式的基本性质． ◎结论形成 1．等式的性质 (1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，则对任意c，都有__a±c＝b±c__；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式． (2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有__ac＝bc__，＝. 2．恒等式 (1)恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取__任意实数__时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． (2)常见的代数恒等式 ①(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__， (a－b)2＝a2－2ab＋b2. ②a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__． ③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)， a3－b3＝__(a－b)(a2＋ab＋b2)__． ④(x＋a)(x＋b)＝__x2＋(a＋b)x＋ab__， (ax＋b)(cx＋d)＝__acx2＋(ad＋bc)x＋bd__． 导学2　十字相乘法 　我们学过哪些分解因式的方法？ [提示]　提取公因式法、公式法等． 　我们知道对任意的x，a，b，都有(x＋a)·(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.那么对于二次三项式x2＋x－2如何分解因式呢？ [提示]　由(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2可知，二次三项式x2＋x－2可分解为(x－1)(x＋2). ◎结论形成 　给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝__ab__且C＝__a＋b__，则x2＋Cx＋D＝__(x＋a)(x＋b)__．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示： 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于__C__，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． 导学3　方程的解集 　使方程x2＝2x成立的x的值的集合为________． [提示]　{0，2} ◎结论形成 1．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的__未知数__的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的__解集__． 2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为__{x1，x2}__，当x1＝x2时解集为__{x1}__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.(　　) (2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4).(　　) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.(　　) (4)方程x2＋2x－3＝0的解集为{1，－3}．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若3a＝2b，下列各式进行的变形，不正确的是(　　) A．3a＋1＝2b＋1　　 B．3a－1＝2b－1 C．9a＝4b D．－＝－ 解析　对于A，∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不符合题意； 对于B，∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不符合题意； 对于C，∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意； 对于D，∵3a＝2b，∴－＝－，正确，不符合题意． 答案　C 3．x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 解析　原方程可化为x＝，又x＝1，所以＝1，即a＝2. 答案　B 4．分解因式：3x2－6x＋3＝________． 解析　3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2. 答案　3(x－1)2 题型一　利用恒等式化简一题多解 　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　) A．－2m2 　　　　　　 B．0 C．－2 D．－1 (2)化简：(x＋3y)2－(3x＋y)2. (1)[解析]　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1) ＝(m4－1)－(m4＋1)＝m