第2章 2.1.1 等式的性质与方程的解集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

　等式

2.1.1　等式的性质与方程的解集

[教材梳理]

导学1　恒等式

　判断下列命题是否正确？

(1)如果a＝b，那么b＝a；

(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c；

(4)如果a＝b，那么ac＝bc；

(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.

[提示]　以上均正确，这些都是等式的基本性质．

◎结论形成

1．等式的性质

(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，则对任意c，都有__a±c＝b±c__；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式．

(2)等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有__ac＝bc__，＝.

2．恒等式

(1)恒等式的定义

一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取__任意实数__时等式都成立，则称其为恒

等式，也称等式两边恒等．

(2)常见的代数恒等式

①(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__，

(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

②a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．

③a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，

a3－b3＝__(a－b)(a2＋ab＋b2)__．

④(x＋a)(x＋b)＝__x2＋(a＋b)x＋ab__，

(ax＋b)(cx＋d)＝__acx2＋(ad＋bc)x＋bd__．

导学2　十字相乘法

　我们学过哪些分解因式的方法？

[提示]　提取公因式法、公式法等．

　我们知道对任意的x，a，b，都有(x＋a)·(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.那么对于二次三项式x2＋x－2如何分解因式呢？

[提示]　由(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2可知，二次三项式x2＋x－2可分解为(x－1)(x＋2).

◎结论形成

　给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝__ab__且C＝__a＋b__，则x2＋Cx＋D＝__(x＋a)(x＋b)__．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：

其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于__C__，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．

导学3　方程的解集

　使方程x2＝2x成立的x的值的集合为________．

[提示]　{0，2}

◎结论形成

1．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的__未知数__的值．一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的__解集__．

2．方程(x－x1)(x－x2)＝0，当x1≠x2时解集为__{x1，x2}__，当x1＝x2时解集为__{x1}__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.(　　)

(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4).(　　)

(3)用因式分解法解方程时部分过程为：

(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.(　　)

(4)方程x2＋2x－3＝0的解集为{1，－3}．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．若3a＝2b，下列各式进行的变形，不正确的是(　　)

A．3a＋1＝2b＋1　　 B．3a－1＝2b－1

C．9a＝4b    D．－＝－

解析　对于A，∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不符合题意；

对于B，∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不符合题意；

对于C，∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；

对于D，∵3a＝2b，∴－＝－，正确，不符合题意．

答案　C

3．x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是(　　)

A．－2    B．2

C．－1    D．1

解析　原方程可化为x＝，又x＝1，所以＝1，即a＝2.

答案　B

4．分解因式：3x2－6x＋3＝________．

解析　3x2－6x＋3＝3(x2－2x＋1)＝3(x－1)2.

答案　3(x－1)2

题型一　利用恒等式化简一题多解

　(1)化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的值是(　　)

A．－2m2 　　　　　　 B．0

C．－2    D．－1

(2)化简：(x＋3y)2－(3x＋y)2.

(1)[解析]　(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)

＝(m4－1)－(m4＋1)＝m4－1－m4－1＝－2.

答案　C

(2)[解析]　法一　(x＋3y)2－(3x＋y)2