第1章 1.1.3 第2课时 补集-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

第2课时　补集

[教材梳理]

导学　补集

　如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？

[提示]　集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．

◎结论形成

1．全集

(1)定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．

(2)记法：全集通常记作__U__．

2．补集

3．补集运算的性质

给定全集U及其任意一个子集A，有

(1)A∪(∁UA)＝__U__．

(2)A∩(∁UA)＝__∅__．

(3)∁U(∁UA)＝__A__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)全集一定含有任何元素．(　　)

(2)集合∁RA＝∁QA.(　　)

(3)一个集合的补集一定含有元素．(　　)

(4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必具其一.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　)

A．{0}　　　　　　　 B．{1}

C．∅    D．{0，1}

解析　∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}，故选D.

答案　D

3．设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝(　　)

A．{0，2，4，6}    B．{0，2，4}

C．{6}    D．∅

解析　∵M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，∴U＝M∪∁UM＝{0，2，4，6}，故选A.

答案　A

4．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________．

解析　∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．

答案　{x|x≤1}

题型一　补集的运算一题多解

　(1)若区间U＝[－2，2]，则A＝[－2，0]的补集∁UA为(　　)

A．(0，2)　　　　　　 B．[0，2)

C．(0，2]    D．[0，2]

(2)设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，则∁UA＝________，∁UB＝________．

[解析]　(1)借助数轴易得∁UA＝(0，2].

(2)法一　在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3，3，4，5，

所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．

又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．

法二　可用维恩图表示．

则∁UA＝{－5，－4，3，4}，∁UB＝{－5，－4，5}．

[答案]　(1)C　(2){－5，－4，3，4}　{－5，－4，5}

[规律方法]　

求集合的补集的方法

(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．

(2)维恩图法：借助维恩图可直观地求出全集及补集．

(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点是否包含．

[触类旁通]

1．(1)设集合U＝R，M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，则∁UM＝(　　)

A．[－2，2] B．(－2，2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

(2)已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a＝________．

解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，

可知∁UM＝[－2，2].

(2)由题意可知解得a＝2.

答案　(1)A　(2)2

题型二　交集、并集、补集的综合运算

　设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁RB，∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.

[解析]　把集合A，B在数轴上表示如下：

由图知∁RB＝{x|x≤2或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．

因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．

[规律方法]　

解决集合交、并、补运算的技巧