第1章 1.1.1 第2课时 集合的表示法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

第2课时　集合的表示法

[教材梳理]

导学1　集合的表示法

　用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？

[提示]　这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出．

◎结论形成

　列举法：把集合中的元素__一一列举__出来写在大括号内．

导学2　描述法

　你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？

[提示]　不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，不能一一列举，但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}．

◎结论形成

描述法：如果属于集合A的任意一个元素x__都具有性质p(x)__，而不属于集合A的元素都__不具有__这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为__{x|p(x)}__．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．

导学3　区间

　能否用更为简洁的符号表示A＝{x|－3<x≤2}?

[提示]　可以用更加简洁的符号表示，可以用区间表示为(－3，2].这是一种新的表示方法．

◎结论形成

1．区间的概念及表示

设a，b是两个实数，且a<b，则有下表

2．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如：

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1){1}＝1.(　　)

(2){(1，2)}＝{x＝1，y＝2}．(　　)

(3){x∈R|x>1}＝{y∈R|y>1}．(　　)

(4){x|x2＝1}＝{－1，1}．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．用描述法表示函数y＝3x＋1图像上的所有点的是(　　)

A．{x|y＝3x＋1}　　　 B．{y|y＝3x＋1}

C．{(x，y)|y＝3x＋1}    D．{y＝3x＋1}

解析　该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.

答案　C

3．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．

答案　{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1＜x＜5}

4．用区间表示下列集合：

(1){x|－1≤x≤2}：________；

(2){x|1＜x≤3}：________；

(3){x|x＞2}：________；

(4){x|x≤－2}：________．

答案　(1)[－1，2]　(2)(1，3]　(3)(2，＋∞)　(4)(－∞，－2]

题型一　用列举法表示集合

　用列举法表示下列给定的集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；

(2)小于8的质数组成的集合B；

(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；

(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图像的交点组成的集合D.

[解析]　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，

10}．

(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B＝{2，3，5，7}．

(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝.

(4)由得所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6图像的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．

[规律方法]　

用列举法表示集合的三个步骤

(1)求出集合的元素；

(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；

(3)用花括号括起来．

提醒：二元方程组的解集，函数图像上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2，3)，(5，－1)}．

[触类旁通]

1．用列举法表示下列集合：

(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；

(3)方程组的解组成的集合B；

(4)15的正约数组成的集合N.

解析　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}．

(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，∴M＝{2，3}．

(3)解得∴B＝{(3，2)}．

(4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}．

题型二　用描述法表示集合

　用描述法表示下列集合：

(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；

(2)所有被3除余1的整数组成的集合；

(3)使y＝有意义的实数x组成的集合．

(4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集．

[解析]　(1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，