第5章 5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（教师用书）

第2课时　导数的几何意义 [教材梳理] 导学1 导数的几何意义 　函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ [提示]　表示过P0(x0，f(x0))和P(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的割线P0P的斜率． 　当Δx变化时，直线如何变化？ [提示]　直线P0P绕点P转动． 　当Δx→0时，直线变化到哪里？ [提示]　直线过点P与曲线y＝f(x)相切位置． ◎结论形成 1．切线的定义 如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线的斜率． 导学2 导数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数．当x变化时，f′(x) 就是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(　　) (2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(　　) (3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．16 C．8 D．2 答案　C 3．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，故选B. 答案　B 4．曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程为________． 答案　x＋y－2＝0 　已知曲线C：y＝x3.求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程． [解析]　将x＝1代入曲线C的方程得y＝1， ∴切点P(1,1)． ∴y′＝ ＝ ＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3. ∴k＝3. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. [母题变式] (变结论)例1中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解析　由解得或 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个　 [触类旁通] 1．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________． 解析　∵切线的斜率为k＝－1. ∴点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. 答案　x＋y－3＝0 　已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标． [解析]　设切点P的坐标为(x0，y0)． f′(x)＝li ＝li ＝li (2x＋Δx) ＝2x. 所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0. 因为切线与直线4x－y－3＝0平行， 所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x＋6＝10，即切点为(2,10)． 求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)； (2)求导函数f′(x)； (3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．　 [触类旁通] 2．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________． 解析　由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，抛物线y＝4x2在点P处的切线与直线y＝4x－5平行．设P(x0，y0)，则＝＝8x0＋4Δx.令Δx→0得，y′|x＝x0＝8x0.由得故点P的坐标为. 答案　 　已知曲线f(x)＝. (1)求曲线过点A(1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－的曲线的切线