第2章 2.5.2 圆与圆的位置关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

 2.5.2　圆与圆的位置关系

[教材梳理]

　圆与圆的位置关系有几种？

[提示]　有相离(外离和内含)、相交和相切(内切和外切)三种．

　如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？

[提示]　设两圆的连心线长为d，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；

(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；

(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；

(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；

(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．

　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？

[提示]　联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ＞0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ＜0时，两圆外离或内含．

◎结论形成

圆与圆的位置关系及判断方法

[基础自测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)如果两个圆无公共点，那么这两个圆外离．(　　)

(2)两圆方程联立，若有两个解，则两圆相交．(　　)

(3)两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线．(　　)

(4)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　)

解析　(1)×.两个圆无公共点说明两圆有可能外离，也有可能内含，故此说法是错误的．

(2)√.这是代数法判定两圆的位置关系的方法．

(3)√.根据两圆内切或外切性质知，此说法正确．

(4)×.两圆有且只有一个公共点，则两圆不一定外切，还有可能内切，故此说法是错误的．

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)

A．相离  B.相交

C．外切  D.内切

解析　化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，

圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，

|O1O2|＝＝＜r1＋r2，

又r2－r1＜，所以两圆相交．

答案　B

3．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　)

A．－5  B.－2

C．2  D.5

解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径长为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径长为2.

依题意有＝3＋2，

即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.

答案　AC

4．已知⊙O1与⊙O2的方程分别为(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝r2(r＞1)，若两圆相交，则r的取值范围是________．

解析　因为圆心距d＝|O1O2|＝2，且两圆相交，

所以r－1＜d＜r＋1，

即r－1＜2＜r＋1，

所以1＜r＜3.

答案　1＜r＜3

题型一　两圆位置关系的判定  一题多变

　已知两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.

(1)当a为何值时，两圆外切．

(2)当a＝1时，试判断两圆的位置关系．

[自主解答]　将两圆的方程写成标准方程为

C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，

C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.

所以两圆的圆心和半径分别为

C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.

设两圆的圆心距为d，

则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.

(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，

此时a＝－5或a＝2.

(2)当a＝1时，d＝＝，r1＝3，r2＝2，因为|r2－r1|＜d＜r2＋r1，

所以两圆相交．

[母题变式]

(变结论)若例1条件不变，则当a为何值时，两圆内切．

解析　当d＝|r2－r1|＝|2－3|＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－2或a＝－1.

[规律方法]

圆与圆位置关系的判定及方法

[触类旁通]

1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0