第2章 2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2．5.1　直线与圆的位置关系

第1课时　直线与圆的位置关系

[教材梳理]

　直线与圆有几种位置关系？

[提示]　3种，相交、相切和相离．

　怎样用几何法判断直线和圆的位置关系？

[提示]　利用圆心到直线的距离d与圆半径的大小关系判断它们之间的位置关系，若d＞r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交．

　除了几何法还有什么方法可以判断直线与圆的位置关系？

[提示]　根据直线与圆的方程，用代数法可以判断．

◎结论形成

直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系的判断．

[基础自测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)过圆外一点可作两条圆的切线．(　　)

(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　)

(3)过半径外端的直线与圆相切．(　　)

(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　)

解析　(1)√.过圆外一点可作两条圆的切线．

(2)√.直线被圆截，所得最长弦为直径．

(3)×.过半径外端与半径垂直的直线与圆相切．

(4)√.过圆内一点的直线一定与圆相交，此说法正确．

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的位置关系是(　　)

A．相交  B.相切

C．相离  D.无法确定

解析　因为d＝＝8＜10＝r，所以直线与圆相交．

答案　A

3．(多选)已知直线x＝a和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)

A．－3  B.－1

C．1  D.3

解析　由题意知，|a－1|＝2，所以a＝3或a＝－1.

答案　BD

4．直线x－y＝2被圆x2＋y2＝4所截得的弦长为________．

解析　直线x－y＝2可化为x－y－2＝0，

圆心到直线的距离为d＝＝，

即弦长为2＝2.

答案　2

题型一　直线与圆的位置关系的判断  一题多解

　若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下位置关系：①相交，②相切，③相离，试分别求实数a的值或取值范围．

[自主解答]　解法一　由方程组Error!消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0，Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.

①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，解得－50<a<50.

②当直线和圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50.

③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.

解法二　圆x2＋y2＝100的圆心坐标为(0,0)，半径r＝10，

则圆心到直线的距离d＝＝.

①当直线和圆相交时，d<r，即<10，得－50<a<50.

②当直线和圆相切时，d＝r，即＝10，得a＝50或a＝－50.

③当直线和圆相离时，d>r，即>10，得a<－50或a>50.

[规律方法]

直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

[触类旁通]

1．(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切

B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

解析　圆心C(0,0)到直线l的距离d＝，

若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；

若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝>|r|，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.