第8章 §3 数学建模活动的主要过程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

《作业与测评》新教材 数学·必修第一册 北师版 §3　数学建模活动的主要过程 知识点一　开题报告 1.针对“北京市区道路交通流量随时间变化的规律”这一选题进行分析、思考，完成其开题报告． 要解决的问题 随着北京城市的不断发展，交通成了饱受关注的话题，那么北京市区主要道路交通流量随时间变化有什么样的规律？ 选题的原因及意义 为市民日常出行乃至相关部门的政策制定提供参考. 建模问题的可行性分析 时间和车流量满足一定的函数关系. 基本模型、解决问题的大体思路和步骤 观测某主干道每3分钟内通过的车流量，进行分析比较，时刻为自变量x(单位：小时)，车流量为因变量y(单位：辆/3分钟). 预期结果和结果呈现方式 一个能够反映时间与车流量的函数模型，一份有求解过程的文字报告，一份可以在班内交流的“演示报告—PPT”. 成员和分工 全组共同制定研究计划，商讨并确定数学模型，另分工如下： 同学甲，组长，侧重组织讨论，把握工作方向； 同学乙、丙，侧重信息采集、数据计算整理； 同学丁，侧重讨论记录、报告撰写、结果复核. 参考文献 《北京交通状况的分析与预测》 百度地图http：//map.baidu.com 其他说明 2．在意外发生的时候，建筑物内的人员是否能尽快地疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的大问题．根据学校情况，选一角度并提出问题，完成开题报告． 要解决的问题 在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用的时间. 选题的原因及意义 建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议. 建模问题的可行性分析 教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数. 基本模型、解决问题的大体思路和步骤 做出合理假设，列出有关的参数．假设队列中人与人之间的距离为常数，记为d，队列行进的速度也是常数，记为v，令第i个教室中的人数为ni＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为Li，教室门的宽度为D．疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计. 预期结果和结果呈现方式 建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告，一份可以在班内交流的“演示报告—PPT”. 成员和分工 全组共同制定研究计划，商讨并确定数学模型，另分工如下： 同学甲，组长，侧重组织讨论，把握工作方向； 同学乙、丙，侧重信息采集、数据计算整理； 同学丁，侧重讨论记录、报告撰写、结果复核. 参考文献 《数学模型与数学建模》　北京师范大学数学科学学院 其他说明 知识点二　结题报告 3.进一步分析研究“人员疏散”问题，完成结题报告． 条目 内容 问题 在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用的时间. 解决问题 的方法 将许多复杂因素分类研究其影响，先使问题得到简化，然后再从整体考虑，给出最优答案. 相关因素分析及其假设　　 分析：混乱无序的疏散撤离是难以使用数学方法来分析的，而且这也绝不是最佳的疏散撤离的方案．为简单起见，开始我们不妨用“假设”来规范疏散的方式，以便于组建数学模型进行分析． 假设： 1．疏散时有秩序地撤出建筑物； 2．排成单列行进； 3．队列中人员间的间隔是均匀的； 4．队列匀速地撤离建筑物. 建模、求解的主要过程 首先考虑第一个教室内人员的疏散．这个教室撤空的时间是n1d/v，而教室的最后一个人到达出口，即全部撤离的时间是T1＝L1/v＋n1d/v. 类似地，第二个教室撤空的时间是n2d/v，而该教室内最后一个人到达出口所用的时间是T2＝(L1＋L2＋D)/v＋n2d/v.但是在单列撤离的假设下还应考虑到这两支疏散队伍可能出现的重叠的情形，也就是说，当第二个教室的第一个撤离者到达第一个教室的门口时，第一个教室内的人还没有疏散完毕．这时如果两支队伍同时行进必造成混乱．因此需要等待第一个教室撤空以后，第二个教室的队伍再继续前进．这种情形出现的条件是(n1＋1)d/v>(L2＋D)/v，即(n1＋1)d>L2＋D． 由此可以得到这两个教室内的人员(单队)完全撤出教学楼所用的时间的数学模型是T1,2＝ 类似地可以给出四个教室内的人员完全撤出教学楼所用的时间的数学模型． 讨论： 1．进一步分析所得到的模型，我们发现疏散的时间主要由两部分构成，即队伍的排头从教室门口走出教学楼的时间和队伍的排尾走一个队伍的长度到达排头的位置所用的时间．我们不妨将它记为T＝＋.由此可以看出建筑物楼道的长度越长、教室内的人员越多，疏散所用的时间越长．这与人们通常的认识是一致的．另外，如果楼道的长度一定，教室内的人数一定时，队列行进的速度越快，疏散所用的时间越短；队伍越