4.4.1 对数函数的概念-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学 必修·第一册［人教A版］作业与测评 4．4.1　对数函数的概念 知识点一　对数函数的概念 1．下列函数表达式中，对数函数有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝log(－x)(x<0)；⑥y＝2log4(x－1)(x>1)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　B 解析　符合对数函数的定义的只有③④. 2．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f＝(　　) A．3 B．－3 C．－log36 D．－log38 答案　B 解析　∵函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，∴解得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f＝log2＝－3.故选B. 3．若函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________． 答案　5 解析　根据对数函数的定义有 解得a＝5. 知识点二　对数型函数的定义域 4．函数f(x)＝log2(x2＋3x－4)的定义域是(　　) A．[－4，1] B．(－4，1) C．(－∞，－4]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　由题意，得x2＋3x－4>0，即(x＋4)(x－1)>0，解得x>1或x<－4，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)． 5．(2023·重庆高一联考)函数f(x)＝的定义域为________． 答案　(－1，0)∪(0，2] 解析　要使函数有意义，则解得x∈(－1，0)∪(0，2]．所以函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 6．(1)已知函数y＝lg (x2＋2x＋a)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)[易错题]已知函数f(x)＝lg [(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围． 解　(1)因为y＝lg (x2＋2x＋a)的定义域为R，所以x2＋2x＋a>0对一切x∈R恒成立，所以Δ＝4－4a<0，所以a>1. 所以实数a的取值范围是(1，＋∞)． (2)依题意，知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立． 当a2－1≠0时， 解得a<－1或a>. 当a2－1＝0时，a＝±1. 若a＝－1，则f(x)＝0，满足题意． 若a＝1，则f(x)＝lg (2x＋1)，不符合题意． 所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪. [易错分析]　(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立，不仅要考虑a2－1≠0时的情况，还需要考虑a2－1＝0时的情况，易忽略此种情况导致错误． 知识点三　对数函数的应用 7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 解　(1)由v＝log3可知，当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v1，θ1，提速后的游速、耗氧量为v2，θ2. 由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9. 所以耗氧量的单位数为原来的9倍． 一、选择题 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x) B．y＝lg 10x C．y＝loga(x2＋x) D．y＝lg x 答案　D 解析　由对数函数的概念，知D正确． 2．已知f(x4)＝log2x，则f(8)＝(　　) A. B. C．6 D．18 答案　A 解析　令x4＝8，则x＝8，∴f(8)＝log28＝log28＝. 3．在y＝log(x－3)(x＋1)中，要使函数有意义，则x的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3，4) 答案　B 解析　由得x>3且x≠4，故x的取值范围是(3，4)∪(4，＋∞)． 4．已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝log3x C．y＝logx D．y＝logx 答案　C 解析　设对数函数的解析式为y＝logax(a>0且a≠1)，则－2＝loga9，即a－2＝9＝，所以a＝，故函数解析式为y＝logx.故选C. 5．若函数y＝lg (x－1)＋lg (x－2)的定义域为M，函数y＝lg (x2－3x＋2)的定义域为N，则(　　) A．MN B．NM C．M＝N D．M∩N＝∅ 答案　A 解析　由得x>2，即M＝{x|x>2}，由x2－3