5.5 三角函数模型的简单应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) (教师独具内容) 课程标准：1.会用三角函数模型解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题． 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型． 核心素养：1.通过建立三角模型解决实际问题提升数学建模素养.2.通过对实际问题的求解和分析培养数学运算素养和逻辑推理素养. 知识点一　三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 知识点二　建立函数模型的一般步骤 运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 做一做 (1)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 (2)下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4 则适合这组数据的函数模型是(　　) A．y＝acos B．y＝acos＋k(a>0，k>0) C．y＝－acos＋k(a>0，k>0) D．y＝acos－3 (3)一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm. 答案　(1)C　(2)C　(3) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　三角函数模型在物理中的应用 例1　电流I(A)与时间t(s)的函数关系式为I＝Asin(ωt＋φ). (1)若I＝Asin(ωt＋φ)的部分图象如图所示，求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)若在任意 s时间内电流I能取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？ [解]　(1)由图象可知A＝300，“第一个”零点为－，“第二个”零点为， ∴解得 ∴I＝300sin. (2)依题意得T≤，即≤， ∴ω≥200π，故正整数ω的最小值为629. 三角函数模型在物理中的应用 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法． [跟踪训练1]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解　列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图中实线所示． (1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 题型二　三角函数模型的实际应用 例2　如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． [解]　(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则解得 又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝， ∴y＝100sin＋800. 又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800， ∴sin(π＋