5.4 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及其应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及其应用 (教师独具内容) 课程标准：1.能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象，借助函数图象，理解参数A，ω，φ在物理学中的意义.3.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式． 教学重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质． 教学难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用． 核心素养：通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的学习提升数学运算素养和逻辑推理素养. 知识点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 1．一般地，设A>0，ω>0，φ是常数，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可经过以下步骤得到： (1)将正弦曲线y＝sinx向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度； (2)再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的(纵坐标不变)； (3)进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A>1)或缩小(0<A<1)为原来的A倍(横坐标不变)． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，周期为. 知识点二　函数y＝Asin(ωx＋φ)中参数在物理学中的意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)表示一个物体做简谐运动时的位移时， (1)A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)若x表示时间(x∈[0，＋∞))，则这个简谐振动的周期是T＝，而f＝＝表示单位时间内往复振动的次数，称为频率.ωx＋φ称为相位．x＝0时的相位φ称为初相． 1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象 令X＝ωx＋φ，则将X分别取0，，π，，2π，并求出对应的x值，列表如下： x － X＝ωx＋φ 0 π 2π y＝ Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 由此可得五个关键点：，，A，，，－A，.描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左、向右分别平移，从而得到正弦型函数的大致图象． 2．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的第二种途径 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象不仅可以由y＝sinx的图象通过“相位变换→周期变换→振幅变换”得到，也可以由y＝sinx的图象通过“周期变换→相位变换→振幅变换”得到，如下所示． 注意：在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了||个单位长度，这是因为由y＝sinωx的图象变换为y＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了||个单位长度，即y＝sinωx的图象y＝sin＝sin(ωx＋φ)的图象． 3．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的初相φ的值的两种方法 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． (2)五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为A.(　　) (2)y＝3sin(3x－2)的初相为2.(　　) (3)小球运动的频率是1 s运动50次，则小球运动的周期为 s．(　　) (4)函数y＝sin的图象可看作是把y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)函数y＝2sin的周期、振幅依次是______、________. (2)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式为________. 答案　(1)6π　2　(2)y＝sin＋2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型一　“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 例1　用“五点法”作函数y＝3sin，x∈的简图． [解]　①列表： x － 2x＋ 0 π 2π y 0