2.1.3 基本不等式的应用-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 2.1.3　基本不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.2.运用基本不等式解决实际问题中的最值问题． 教学重点：1.不等式证明过程中式子的变形、转化.2.把实际问题抽象为数学中关于函数的最值问题． 教学难点：理解和识别实际问题中的数量关系，判断能否转化为基本不等式的数学模型． 核心素养：借助基本不等式在实际问题中的应用培养数学建模素养. 知识点一　基本不等式的应用模型 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.(简记：和定积最大) 知识点二　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用基本不等式的形式． 知识点三　利用基本不等式解决实际问题的一般步骤 (1)先读懂题意，设出变量，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞0，b＞0且a＋b＝16，则ab≤64.(　　) (2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　) (3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25 m2.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 (2)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________. (3)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 答案　(1)B　(2)200　(3)20 题型一 利用基本不等式证明不等式 例1　已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3. [证明]　＋＋ ＝＋＋＋＋＋－3 ＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正数，∴＋≥2 ＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a≥0，b≥0)可变形为ab≤2等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． [跟踪训练1]　已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10. 证明　＋＋＝＋＋＝4＋＋＋≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当a＝b＝c＝时取等号， ∴＋＋≥10. 题型二 基本不等式在实际问题中的应用 例2　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． [解]　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知ax＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0，∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440. 当且仅当225x＝时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的实际问题，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)上靠拢． [跟踪训练2]　某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在4