2.1.2 基本不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 2.1.2　基本不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握基本不等式≥(a，b≥0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式解决最值问题． 教学难点：基本不等式条件的创设． 核心素养：1.通过基本不等式的证明培养逻辑推理素养.2.借助基本不等式解决最值问题提升数学运算素养. 知识点一　基本不等式 定理：对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立． 推论：对任意a，b≥0，必有≥，当且仅当a＝b时等号成立． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． 知识点二　算术平均数与几何平均数 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数． 1．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)≤≤ (a，b均为正实数)； (3)＋≥2(a，b同号)； (4)(a＋b)≥4(a，b同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 2．基本不等式的推广 一般地，若a1，a2，a3，…，an是正实数，则有 ≥ ，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时取等号． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝2.(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤2.(　　) (4)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.(　　) (5)当x>1时，x＋≥2，所以x＋的最小值是2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)设x，y均为正数，且x＋4y＝4，则xy的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．16 (2)＋≥2成立的条件是________. (3)若x<1，则x＋的最大值为________. (4)若a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值为________. 答案　(1)A　(2)a与b同号　(3)－1　(4)2 题型一 对基本不等式的理解 例1　给出下面三个推导过程： ①因为a>0，b>0，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析]　①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件， 所以＋a≥2 ＝4是错误的； ③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确． [答案]　D 基本不等式≥(a≥0，b≥0)的两个关注点 (1)不等式成立的条件：a，b都是非负数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. [跟踪训练1]　下列不等式的推导过程正确的是________. ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若x，y∈R，则|x＋|＝|x|＋≥2. 答案　② 解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x>1，所以x＋>2；③中当x，y异号时，不成立. 题型二 利用基本不等式进行大小比较 例2　已知a>0，b>0，且a≠b，则，， ，中最小的是________. [解析]　解法一：∵＝≤＝≤，又a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. ∴≥.∴≤ . 综上所述，≤ ≤ ≤ . ∵a≠b，∴等号不成立，∴最小． 解法二：(特殊值法)令a＝4，b＝2， 则＝3，＝2， ＝，＝. ∴最小． [答案]　 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． [跟踪训练2]　已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是________. 答案　a＋b 解析　因为0<a<1,0<b<1，a≠b，所以a2＋b2>2ab，a＋b>2.所以最大的只能是a2＋b2与a＋b其中之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1,0<b<1，所以a－1<0，b－1<0.因此a2＋b2<a＋b.所以a＋b最大. 题型三 “拼凑法