2.1.1 等式与不等式-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

《导学案》新教材 数学·必修第一册(湘教版) 2.1.1　等式与不等式 (教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明培养逻辑推理素养.2.通过大小比较及利用不等式求范围提升数学运算素养. 知识点一　两个实数大小的比较 (1)a>b⇔a－b>0. (2)a＝b⇔a－b＝0. (3)a<b⇔a－b<0. 知识点二　作差比较法 (1)理论依据：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. (2)方法步骤：①作差；②整理；③判断符号；④下结论. 知识点三　等式的性质 (1)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (2)如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0)． (3)如果a＝b＞0，那么 ＝ (n∈N＋)． 知识点四　不等式的性质及推论 (1)性质 ①a>b⇔b<a. ②a>b，b>c⇒a>c. ③a>b⇔a＋c>b＋c. ④a>b，c>0⇒ac>bc. ⑤a>b，c<0⇒ac<bc. ⑥a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N＋)． ⑦a＞b，且ab＞0⇒＜. ⑧a＞b，且ab＜0⇒＞. (2)推论 ①a＋b＞c⇒a＞c－b. ②a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. ③a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. ④a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋)． 1．关于不等式性质的理解 两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>b，c>d不能推出a－c>b－d. 2．常用的结论 (1)b<0<a⇒>； (2)a>b>0，c>d>0⇒>； (3)若a>b>0，m>0，则>，<(b－m>0)，<，>(b－m>0)． 3．比较大小的方法 比较数(式)的大小常用作差与0比较． 作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用． 4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性，同向正值不等式具有可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个实数都能比较大小．(　　) (2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　) (3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．(　　) (4)若ac2>bc2，则a>b.(　　) (5)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总质量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 (2)已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　) A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b (3)下列命题正确的是(　　) A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒< C．a>b且c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒a2>b2 (4)m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系为________. 答案　(1)C　(2)C　(3)A　(4)m≥n 题型一 作差法比较大小 例1　比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． [解]　(1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0， ∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝，且z＝1时取等号． 1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形方法：①因式分解；②配方； ③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2．如果两个实数同号，也可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1. [跟踪训练1]　已知a>0，b>0，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)， ∴当