4.2.1 指数爆炸和指数衰减-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

4.2　指数函数 4.2.1　指数爆炸和指数衰减 第4章　幂函数、指数函数和对数函数 课程标准：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 教学重点：1.指数函数的概念.2.指数函数的实际应用． 教学难点：指数函数的实际应用． 核心素养：借助指数函数的实际应用培养数学建模素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 增大 常量 缩小 指数函数的解析式具有的三个特征 (1)底数a>0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) × × × 答案　f(x)＝2x 答案 2 核心素养形成 PART TWO [解析]　①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D. 答案 解析 题型一 指数函数的概念 (1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． [跟踪训练1]　若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________. 答案　－1 解析　因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1,2－a>0且2－a≠1，解得a＝－1. 答案 解析 例2　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)． [解]　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； … 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)． (2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． 解 题型二 指数爆炸 指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． [跟踪训练2]　某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 解析　因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. 答案 解析 题型三 指数衰减 解 指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 答案 解析 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%,5年后支取，本利和应为________万元．(　　) A．2×(1＋0.3)5 B．2×(1＋0.03)5 C．2×(1＋0.3)4 D．2×(1＋0.03)4 解析　由题意可得，存入银行2万元后，一年后本利之和为2×(1＋0.03)万元，两年后本利之和为2×(1＋0.03)2万元，故5年后支取，本利和应为2×(1＋0.03)5万元． 答案 解析 3．若函数f(x)＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a＝________. 答案　3 答案 解析 4．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为________. 答案 解析 解 4 课后课时精练 PART FOUR 一、选择题 1．给出下列函数： ①y＝3·2x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x. 其中，指数函数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，由定义知只有y＝3x是指数函数．故选B. 答案 解析 答