第1章 §4 4.2 一元二次不等式及其解法-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

《导学案》新教材 数学S·必修第一册 4.2　一元二次不等式及其解法 (教师独具内容) 课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法． 教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． 知识点二　一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 知识点三　一元二次不等式与相应一元二次函数、一元二次方程的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2 ＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx ＋c＝0 (a>0)的根 x1，x2 x0＝－ 没有实数根 ax2＋bx ＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1， 或x>x2} R ax2＋bx ＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 一元二次不等式的解法与步骤 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及一元二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： (ⅰ)化不等式为标准形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； (ⅲ)由图象得出不等式的解集． ②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含有参数的一元二次型的不等式 在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．(　　) (3)不论实数a取什么值，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集一定与相应方程ax2＋bx＋c＝0的解有关．(　　) (4)设二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两解为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集不可能为{x|x1<x<x2}．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________. (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________. (3)当a>0时，若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为________. (4)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b＝________. 答案　(1)R　(2){x|－4<x<1}　(3)Δ<0　(4)4 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法　 　 例1　求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0； (3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－≥0； (5)－x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－，又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}． (3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． (4)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为. (5)原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅. (6)原不等式