2023-2024学年重庆八年级上数学期末复习分类汇编：定义新运算、整式

2023-2024年重庆八年级上数学期末复习分类汇编：定义新运算、整式 一、解答题 1．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． (1)__________；__________； (2)若，其中x是正整数，求x的值． 2．已知m为任意的两位数，若m的各位数字不同且均不为0，这样的两位数称为“互斥数”，把一个“互斥数”的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的两位数，把这两个两位数相加的和除以11的商记为．例如，对调后的两位数为34，这两个两位数的和为77，，所以． (1)计算：　　；　　； (2)若a，b都是“互斥数”，其中均为整数)，当时，求出符合条件的“互斥数”a和b． 3．已知一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数s，若s等于M的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数M为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记． 例如：6237是“平方差数”，因为，所以6237是“平方差数”； 此时． 又如：5135不是“平方差数”，因为，所以5135不是“平方差数”． (1)判断7425是否是“平方差数”？并说明理由； (2)若是“平方差数”，且比M的个位数字的9倍大30，求所有满足条件的“平方差数”M． 4．阅读以下材料，并解决相应的问题． 在日常生活中，微信支付，取款、上网等都需要密码．有一种用因式分解生成密码的程序，方便记忆．例如：对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9，则各个因式的值分别是，x+y=18，x-y=0，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 请解决下列问题： (1)按材料中的原理，若取x=9，y=5，不改变中各因式的顺序，生成的密码是_______； (2)若将程序修改为：整式分解的结果，取m=20，n=2时，用上述方法产生的密码是______（写出一种即可）． 5．教材113页《阅读与思考》谈到：我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例：在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年.杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)直接写出的展开式______； (2)的展开式中共有______项，所有项的系数和为______； (3)此规律还可以解决实际问题：如果今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期几？简要写出计算（推理）过程. 6．阅读下列材料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，这样的分式就是假分式．假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 例如：； 又如： ． (1)分式是_________（填“真分式”或“假分式”）﹔ (2)将假分式化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 7．观察下列各式： ①60×60＝602－02＝3600； ②59×61＝(60－1)×(60＋1)＝602－12＝3599； ③58×62＝(60－2)×(60＋2)＝602－22＝3596； ④57×63＝(60－3)×(60＋3)＝602－32＝3591 …… 【探究】（1）上面的式子表示的规律是：(60＋m)(60－m)＝ ；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数 时，乘积最大． 【应用】（2）根据上面的规律，思考若a＋b＝400，则ab的最大值是 ； 【拓展】（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？ 8．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是的二次三项式分解因式． 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解：． 请依照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)若可分解为两个一次因式的积，请写出整数的所有可能的值． 9．对于任意一个四位正整数m，若