5.1.2 数据的数字特征-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ 5.1.2　数据的数字特征 (教师独具内容) 课程标准：理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息． 教学重点：理解最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差的意义和作用． 教学难点：根据问题的需要选择恰当的数字特征来表达数据的信息． 核心素养：通过求一组数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差、标准差培养数据分析素养和数学运算素养． 知识点一　最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示． 知识点二　平均数 (1)日常生活中，我们经常使用平均数来刻画一组数据的平均水平(或中心位置)． (2)如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．这一公式在数学中常简记为＝xi其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”， ∑右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面. (3)求和符号∑具有的性质： ①(xi＋yi)＝xi+yi; ②(kxi)＝kxi； ③n,i＝1,t＝nt． 知识点三　中位数、百分位数 (1)一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n+1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数． (2)一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值． 为了方便，我们按如下方式确定p%分位数：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数． 特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)． 实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数(简称为第一四分位数)与75%分位数(简称为第三四分位数)． 知识点四　众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 知识点五　极差、方差与标准差 (1)一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度． (2)方差和标准差也是描述一组数的离散程度的量．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝ (xi－)2．此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2． 方差的算术平方根称为标准差，标准差描述了数据相对于平均数的离散程度． 1．平均数、中位数、百分位数、众数的异同 (1)平均数、中位数及众数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．由于平均数与该组中的每一个数据有关，因此，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数和众数都不具有的性质． (2)中位数、百分位数与数据的排列位置有关，中位数、百分位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中． 2．对方差、标准差概念的理解 (1)方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小． (2)方差、标准差的取值范围：[0，＋∞)．方差、标准差为0时，样本中各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性． 3．极差、方差与标准差的区别与联系 (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述． (2)极差是一组数据中的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感． (3)方差反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求算出标准差，即样本方差的算术平方根．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． 4．常用结论 若x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是s2，则 (1)x1＋b，x2＋b，x3＋b，…，xn＋b的平均数为＋b，方差是s2. (2)ax1，ax2，ax3，…，axn的平均数为a，方差是a2s2. (3)ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差是a2s2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是这组数据中的某个数．(　　) (2)在一组数据中，众数一定是唯一的．(　　) (3)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．(　　) (4)若x1，x2，…，x100的平均数为，x1，x2，…，x40的平均数为a，x41，x42，…，x1