4.6 函数的应用（二）-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ (教师独具内容) 课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题． 教学难点：建立函数模型解决实际问题． 核心素养：通过应用函数模型解决实际问题培养数学抽象素养和数学建模素养． 知识点　　用函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)求模：求解函数模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 1．人口数的计算 设原有人口数为a，人口的自然年增长率为b，则经过x年后，人口数y＝a(1＋b)x. 2．复利及应用 (1)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息． (2)本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为y＝a(1＋r)x(x∈N＋)． 3．半衰期及应用 (1)放射性元素剩余量为原来的一半所需要的时间叫做半衰期． (2)放射性元素最初质量为a g，按每年r衰减(0<r<1)，t年后，这种元素的质量w的表达式是w＝a(1－r)t.这种元素的半衰期t＝. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某种商品2023年提价25%，2024年要恢复原价则应降价25%.(　　) (2)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：审题、建模、求模、还原．(　　) 答案　(1)×　(2)√ 2．做一做 (1)某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为(　　) A．(1＋p)11 B．(1＋p)12 C．(1＋p)12－1 D．(1＋p)11－1 (2)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)． 答案　(1)C　(2)8 题型一　指数型函数模型的应用 例1　某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)? [解]　本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见，5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，多得利息约3.86万元． 可以用指数型函数模型来解决的几类问题 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． [跟踪训练1]　某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初始含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(提示：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) 解　由题意，得×≤，即≤， 所以n≥log＝＝≈7.4. 所以至少要过滤8次才能使产品达到市场要求． 题型二　对数型函数模型的应用 例2　20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)． (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)？(参考数据：102.6≈398) [解]　(1)依题意知M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20000＝lg 2＋lg 104＝4＋lg 2≈4.3. 因此这是一次约里氏4.3级的地震． (2)由M＝lg A－lg A0可知M＝lg ， 所以＝10M， 所以A＝A0·10M. 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107