4.4 幂函数-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的性质解决问题． 核心素养：1.通过学习幂函数的概念、幂函数的图象和性质培养数学抽象素养.2.通过应用幂函数的性质解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 知识点二　一些常用幂函数的图象 同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 知识点三　幂函数的共同特征 (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴． 1．幂函数的特征 (1)xα的系数为1. (2)xα的底数是自变量． (3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2．幂函数与指数函数的区别 (1)指数函数： (2)幂函数： 3．一些常用幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减 公共点 都经过点(1，1) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x3＋2是幂函数．(　　) (2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．(　　) (3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．(　　) (4)对于幂2，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．(　　) (5)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________． (2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，8)，则f(－2)＝________． (3)若是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是________，是________(填“奇”或“偶”)函数，单调递减区间是______________，单调递增区间是______________． 答案　(1)3　(2)－8 (3)R　[0，＋∞)　偶　(－∞，0]　[0，＋∞) 题型一　幂函数的概念 例1　已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． [解]　∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. [跟踪训练1]　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数为2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B. (2)已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解　由题意得解得 题型二　幂函数的图象及应用 例2　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 [解析]　由于在第一象