4.3 指数函数与对数函数的关系-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第二册［RJB］ (教师独具内容) 课程标准：知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数． 教学重点：反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象和性质，深刻理解两者的关系． 教学难点：利用对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象的对称关系解决问题． 核心素养：1.通过学习反函数的概念和反函数的性质培养数学抽象素养.2.通过利用反函数的性质解决问题培养逻辑推理素养． 知识点一　指数函数与对数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax(a＞0且a≠1) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 函数值的变化情况　 当a＞1时， ax 当0＜a＜1时， ax 当a＞1时， logax 当0＜a＜1时， logax 单调性 当a＞1时，y＝ax为增函数；当0＜a＜1时，y＝ax为减函数 当a＞1时，y＝logax为增函数；当0＜a＜1时，y＝logax为减函数 知识点二　反函数 (1)一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数，记作y＝f－1(x)． 值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在．此时，如果y＝f(x)是增函数，则f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则f－1(x)也是减函数． (2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都有反函数．(　　) (2)函数y＝2x的定义域是函数y＝log2x的值域．(　　) (3)函数y＝x2的反函数是y＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y＝logx的反函数为________． (2)函数y＝log(x－1)的反函数为________． (3)若点(1，2)在函数y＝f(x)的图象上，则点________必在其反函数y＝f－1(x)的图象上． 答案　(1)y＝　(2)y＝＋1 (3)(2，1) 题型一　求函数的反函数 例1　求下列函数的反函数： (1)y＝2x＋3； (2)y＝logx； (3)y＝－1； (4)y＝0.2x＋1(x≤1)． [解]　(1)由y＝2x＋3得x＝y－，所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝x－. (2)y＝logx的底数是，它的反函数是指数函数y＝. (3)y＝－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝log(x＋1)(x>－1)． (4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，对调其中的x和y得y＝log0.2(x－1)，因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)． 求给定解析式的函数的反函数的步骤 (1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域； (2)从y＝f(x)中解出x； (3)x，y互换并注明反函数的定义域． [跟踪训练1]　求下列函数的反函数： (1)y＝(2)y＝log(2x＋1)； (3)y＝. 解　(1)当x≥0时，由y＝2x，得x＝，y≥0； 当x<0时，由y＝－x2，得x＝－，y<0. 所以y＝的反函数是 y＝ (2)由y＝log(2x＋1)，得2x＋1＝， 所以x＝×－， 对调x，y得y＝×－， 所以y＝log(2x＋1)的反函数是y＝×－. (3)由y＝，得2x(y－1)＝y＋1. 因为y≠1，所以2x＝. ① 因为2x>0，所以>0， 解得y>1或y<－1. 故反函数的定义域是{x|x>1或x<－1}． 由①式，得x＝log2. 所以y＝的反函数为y＝log2(x<－1或x>1)． 题型二　反函数性质的应用 例2　已知函数y＝ax＋b(a>0且a≠1)的图象过点(1，4)，其反函数的图象过点(2，0)，求a，b的值． [解]　解法一：∵y＝ax＋b的图象过点(1，4)， ∴a＋b＝4， ① 由y＝ax＋b得ax＝y－