5.1.1 第1课时变化率问题和导数的概念-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 第1课时变化率问题和导数的概念 [学习目标]1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，培养数学抽象的核心素养，2.了解 导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，培养数学抽象的核心素养.3.体会导数的内涵 与思想，发展数学抽象的核心素养.4.体会极限思想，发展数学抽象的核心素养.5.会求函数在某一点附近的平 均变化率，发展数学运算的核心素养（重点），6，理解函数的平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的概念，提升数 学抽象的核心素养（易混点）. 必备知识·基础落实 答案见P 要点一瞬时速度 2.导数的概念 1.定义 如果当△x0时，平均变化率Ay无限趋近于 △x 物体在 的速度称为瞬时速度。 一个确定的值，即公有极限，则称y一f(x)在 2.一般地，设物体的运动规律是s=s(t),则物体 x=x。处可导，并把这个确定的值叫做y= 在6到6十丛这段时间内的平均速度为分 f(x)在x=xo处的导数（也称为瞬时变化率）， +》,如果4无限趋近于0时，岁 △ 记作 即f()=四= 无限趋近于某个常数，我们就说当△/无限趋 f(x十△x)一f(x) △x 近于0时的 是，这时v就是物体在 辨析 时刻t=o时的瞬时速度，即瞬时速度= 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” 回是-细十》u (1)△x趋近于零时表示△x=0. △M (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等. 要点二导数的概念 1.平均变化率 (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢 函数y=f(x)从n到十△x的平均变化率 的情况 () 为=+f △x (4)△y的值可正可负，也可以为0.() ·40· 第五章 一元函数的导数及其应用 关键能力素养提升 答案见P 探究一 求平均变化率 探究二 求瞬时速度 规律总结 答题模板 (1)求函数平均变化率的三个步骤：第一步， 求运动物体瞬时速度的步骤 求自变量的改变量△x=x2一x1;第二步，求 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化 函数值的改变量△y=f(x2)一f(x1):第三 的函数为3=s(t),则求物体在1=to时刻的 步，求单均变化率二 瞬时速度的步骤如下： Ti-tI (1)写出时间玫变量△1，位移改变量△x(△ (2)求平均变化率的一个关注点：求点附 x(to+△t)-s(t6). 近的平均支化率，可用+△)f)的 △x (2)求平均速度：0= △s △t 形式。 (3)求瞬时速度：当△y0时，口（常敦）. 【例题1】(1)如图，函数y=f(x)在[1,5]上的平 均变化率为 【例题2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s(1)=+t十1表 示，求物体在=1s时的瞬时速度. A. C.2 D.-2 (2)函数y=-2x2十1在区间[1,1十△x]内的 平均变化率为 【变式1】函数f(x)-x2+2c(c∈R)在区间[1,3] 上的平均变化率为 A.2 B.4 C.2e D.4c 41 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式2】已知一质点按规律s=2r运动，则其在 【例题3】求函数y=x+1在x=1处的导数 时间段[1,2]内的平均速度为 m/s, 在t=1时的瞬时速度为 m/s. 探究三求函数在某点处的导数 【变式31已知f)=是，且fm)= 2则m 答题模板 的值等于 ( 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 A.-4 B.2 (1)求函数的增量△y=f(xo十△x)-f(x). C.-2 D.士2 (2)求平均变化率Ay=fx十△r)-f) 年年4年444年年■4444年年440年年4444年中44444山4444里4里1年年4年44年中44年年年44年年4 △x △x (3)求极限1im △y △x 随堂检测·学以致用 答案见P 1.一物体的运动方程是s=3十21，则在[2,2.1] B.9.8m/s是物体从1s到(1十△)s这段时间 这段时间内的平均速度是 ) 内的速率 A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的速率 2.物体自由落体的运动方程为s()=2g心，g= D.9.8m/s是物体从1s到(1十△t)s这段时间 内的平均速率 9.8m/s2,若v=li s(1+)-s1D=9.8m/s △ 3.函数y=x3在x=2处的导数为 那么下列说法中正确的是 ( 4.设函数f(x)=a.x十3，若f(1)=3,则a A.9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的 速率 提示完成P课时作业（十二） 第2课时 导数的几何意义 [学习目标]1，通过函数图象直观理解导数的几何意义，达成数学扫象的核心素养，2.了解导函数的概念，达成