专题4.2 等差数列-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2等差数列 知识点一 等差数列定义 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 3.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 知识点二 等差数列的通项公式 1.； 2.当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数． 3.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 知识点三 等差中项 1.定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 2.等差数列中，从第2项起，每一项都是它相邻两项的等差中项 知识点四 等差数列的前和的求和公式 1.公式： . 2.当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． 3.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 知识点五 等差数列的性质 （1）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （2）在等差数列中，对任意，，，； （3）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （4）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （5）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （6）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （7）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. （8）等差数列中，,则,. （9）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． （10）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 考点01 等差数列及其通项公式 【典例1】（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第一中学校考期中）首项为的等差数列，中从第10项开始为正数，则公差的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【总结提升】 等差数列的基本量为首项a1和公差d，四个量知三可求另一个量. 考点02 等差中项 【典例4】（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例6】（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 . 考点03 等差数列的判断与证明 【典例07】（2023春·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知数列满足，，则 ． 【典例08】（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，求证：数列为等差数列. 【典例09】（2023春·青海西宁·高二统考期末）已知，若成等差数列且公差不为零，求证：不可能成等差数列. 【总结提升】 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件. 考点04 等差数列的前n项和公式及其应用 【典例10】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（    ）    A． B． C． D． 【典例11】（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例12】（2023春·江苏盐城·高二校考开学考试）在等差数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 【温馨提醒】 1.注意灵活选用等差数列求和公式的两种形式. 2.在解含绝对值的数列求和问