专题4.1 数列的概念-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1数列的概念 知识点一 数列的概念 1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列. 2.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 知识点二 数列的表示 1.序号与项对应关系法：简记为 2.图像法：数列的函数的图像不是连续的曲线，而是横坐标为正整数的一串孤立的点. 3.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 知识点三 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 知识点四 数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点五 an与Sn的关系 数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 知识点六 数列的性质 数列的性质----主要指： （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； （2）数列的周期性. 考点01 数列的概念与通项公式 【典例1】（2023春·广西桂林·高二统考期末）是数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【典例2】【多选题】（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 【典例3】（2022春·新疆喀什·高二校考阶段练习）如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 【总结提升】 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 考点02 数列的单调性 【典例4】（2023春·广西桂林·高二统考期末）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5】【多选题】（2022秋·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【典例6】（2021秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考开学考试）已知数列中，，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)记，若数列为递增数列，求的取值范围. 【规律方法】 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 考点03 数列的周期性 【典例07】（2023春·云南保山·高二统考期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C．5 D． 【典例08】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）数列满足若，则（    ） A． B． C． D． 【典例09】（