第15讲 抛物线的焦点弦的性质-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第15讲 抛物线的焦点弦的性质 1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N． (1)求证：； (2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围； 2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系． 3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2． (1)求实数的值； (2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由． 4．（2022春·新疆·高三校考阶段练习）已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为． (1)求抛物线的方程． (2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列． 5．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线H：的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点.. (1)求抛物线H的方程； (2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点，求证：. 6．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程. 7．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，． (1)求C的方程； (2)设P为x轴上一点，且，证明：的外接圆过定点． 8．（2022·山东临沂·统考二模）已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，． (1)求抛物线H的方程； (2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点． ①求证：． ②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由， 9．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵坐标相同时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若P，Q为抛物线C上两个动点，，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值． 10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程. 11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点． (1)当l的倾斜角为时，若，求； (2)设点，且，求l的方程． 12．（2022·全国·高三专题练习）直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：的焦点F，且与C交于不同的两点A，B． (1)若，，成等差数列，求实数k的值； (2)试判断在x轴上存在多少个点，总在以AB为直径的圆上． 13．（2022·宁夏银川·六盘山高级中学校考二模）已知抛物线C：（p>0），过C的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，当⊥x轴时，|AB|=4. (1)求抛物线C的方程； (2)如图，过点F的另一条直线与C交于M、N两点，设，的斜率分别为，，若（），且，求直线的方程. 14．（2021春·广西·高二蒙山中学校考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点的距离是4. （1）求抛物线的方程； （2）过点任作直线交抛物线于两点，交直线于点，是的中点，求的值. 15．（2021·陕西渭南·统考三模）椭圆：的焦点到直线的距离为，离心率为.抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，与交于. （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点. 17．（2023·山东菏泽·统考二模）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，. (1)①求C的方程； ②若M点在第一象限且，求； (2)动直线l与抛物线C交于不同的