第13讲 双曲线中的定点、定值-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第13讲 双曲线中的定点、定值 1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由． 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，双曲线的中心在原点，焦距为，左、右顶点分别为A，B，曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N． (1)求椭圆及双曲线的标准方程； (2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得（其中，为点P，T的横坐标），若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知双曲线C：经过点，右焦点为，且，，成等差数列. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的右支交于P，Q两点（P在Q的上方），PQ的中点为M，M在直线l：上的射影为N，O为坐标原点，设的面积为S，直线PN，QN的斜率分别为，，证明：是定值. 4．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 5．（2023·广东·高三专题练习）已知双曲线的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线的距离之积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，求的面积． 6．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4． (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 7．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，虚轴长为2，过双曲线C的右焦点F作直线MN（不与x轴重合）与双曲线C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线ME，E为垂足. (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在实数t，使得直线EN过x轴上的定点P，若存在，求t的值及定点P的坐标；若不存在，说明理由. 8．（2023·江苏·统考二模）已知双曲线：的渐近线为，右焦点到渐近线的距离为，设是双曲线：上的动点，过的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点. (1)求的标准方程： (2)证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标. 9．（2023·安徽蚌埠·统考一模）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线和曲线交于另一点，求证：直线过定点. 10．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，M，N是C1上关于x轴对称的两点，直线A1M和A2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点F（－2，0）的直线l与曲线C交于x轴上方的A，B两点，若D是线段AB的中点，E是线段AB上一点，且，记直线OD和OE的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值． 11．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知双曲线：的右顶点为A，О为原点，点在的渐近线上，的面积为. (1)求的方程； (2)过点Р作直线交于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值. 13．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2023·湖北武汉·统考三模）已知双曲线：的一条渐近线为，椭圆：的长轴长为4，其中.过点的动直线交于A，B两点，过点Р的动直线交于M，N两点. (1)求双曲线和椭圆的方程； (2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不存在，