第11讲 双曲线的中点弦-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第11讲 双曲线的中点弦 1．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 2．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当k变化时，求点M的轨迹方程； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 3．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点． (1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值； (2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由． 4．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 5．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为. (1)求双曲线C的方程； (2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，虚轴长为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，若的外心的横坐标为0，求直线的方程. 7．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 8．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线上一动点P，左、右焦点分别为，且，定直线，点M在直线上，且满足． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线的斜率，且过双曲线右焦点与双曲线右支交于两点，求的外接圆方程． 9．（2022·江西新余·统考二模）已知双曲线. (1)过点的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程； (2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线. 10．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）双曲线具有这样的性质：若为双曲线上任意一点，则双曲线在点P处的切线方程为.已知双曲线的离心率为，并且经过. (1)求双曲线E的方程； (2)若直线l经过点，与双曲线右支交于P，Q两点（其中点P在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N.证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN. 11．（2022·高二课时练习）设A、B是双曲线上的两点，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)若线段的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，则A、B、C、D四点是否共圆？判断并说明理由． 12．（2023·全国·高三专题练习）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1． (1)求双曲线的方程； (2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值． 13．（1981·全国·高考真题）给定双曲线． (1)过点的直线与所给的双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程； (2)过点能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点及，且点B是线段的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 14．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点在双曲线C上. (1)求线段中点的坐标; (2)若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若点满足，求的值. 15．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明