21.3 二次函数与一元二次方程 讲义 2023--2024学年沪科版九年级数学上册

二次函数与方程 【知识点 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解 【题型1 两根式】 已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 【例1】抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　） A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4 【变式】如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），则二次函数表达式 ． 【练习】已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，则该二次函数的解析式 ． 【题型2 抛物线与x轴的交点】 【例2】已知方程3x2＋6x＋k＝0的两根分别为1和－3，则抛物线y＝3x2＋6x＋k与x轴有________个交点，其坐标分别为____________． 【例3】已知抛物线y＝3x2－4x＋n与x轴有交点，则n的取值范围是____________． 【变式1】二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为　 　． 【变式2】函数y＝kx2－6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A.k＜3 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 【变式3】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【练习1】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ） A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧 C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧 【练习2】已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1 【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例4】已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（　　） A．p＜q＜m＜n B．m＜n＜p＜q C．m＜p＜q＜n D．p＜m＜n＜q 【变式2】对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（　　） A．﹣2和0 B．﹣4和2 C．﹣5和3 D．﹣6和4 【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例5】如图，已知点A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54）在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像上，则方程ax2+bx