3.2 函数的性质（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

3.2 函数的性质 1．函数的单调性 (1)函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 2．函数的奇偶性 (1)偶函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． (3)奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． (4)具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的 必要不充分条件． (5)奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. (6)函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 3．函数的周期性 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 一、函数的单调性 【典例1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例4】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【典例5】如果奇函数在区间上是增函数，且，那么函数在区间上是（    ） A．增函数，且 B．增函数，且 C．减函数，且 D．减函数，且 1、定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2、已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 3、已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 4、若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 5、偶函数在区间上单调递减，则函数在区间上（    ） A．单调递增，且有最小值 B．单调递增，且有最大值 C．单调递减，且有最小值 D．单调递减，且有最大值 二 、函数的奇偶性 【典例1】下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知是偶函数，，则 . 【典例3】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【典例4】已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 【典例5】已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）当时，判断函数在上的单调性，并证明． 1、下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 2、函数是定义在上的奇函数，当时，，则 . 3、是R上的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 4、已知函数是定义域为R的奇函数，当时