第5周 加乘原理进阶（（讲解）-四年级上册数学人教版

第5周 加乘原理进阶 专题介绍 加乘原理，分为加法原理与乘法原理。加法原理是指完成任务的不同方法数等于各类方法数之和；乘法原理是指完成任务的不同方法数等于各步方法数的积。此专题主要研究特殊位置优先考虑和加乘原理综合两类题型。 教材知识链接 排列、组合 数学思维链接 有序思维－－按照一定的顺序分类，进行排列或组合，有序操作，做到不重不漏。 类型1 特殊位置优先考虑 典型例题 学思维 思思、维维、乐乐、天天4个人邀请李老师和他们一起站成一排照相，如果照相时李老师必须站在五个人的正中间，天天不能站在最左边，那么一共能照出多少张站位不同的照片? 思路引导 1.审题分析：由题意知，一共有5个人照相，即一共有5个位置。其中中间位置与最左侧位置有特殊要求，要先安排这两个位置，再安排其他位置。 2.图解思路 把问题分成五步完成，这五步缺一不可，将每一步的可选择数相乘，即可得到所有不同的站位数。 规范解答 1×3×3×2×1＝18（张） 答：一共能照出 18 张站位不同的照片。 规范解答 1.乘法原理体现的是一种分步计数的数学思想，将它分为几步，并且这几步缺一不可，那么完成这件事情的不同方法数等于各步方法数的积。 2.在完成一件事情时，用乘法原理解决计数问题，有限制条件的特殊位置要优先考虑。 举一反三 拓思维 1、运动会上甲、乙、丙、丁4名运动员组队参加接力赛。 （1）4人随意安排跑步顺序，一共有多少种不同的跑法? （2）甲必须跑第一棒，一共有多少种不同的跑法? （3）甲不能跑第一棒，一共有多少种不同的跑法? 2、用数字1、2、3、4、5、6、7组数，可以组成多少个无重复数字的三位数? 变式：用数字0、1、2、3、4、5、6 组数，可以组成多少个无重复数字且是奇数的四位数? 点拨：奇数的个位上的数字可以是1、3、5，有3种选择；0不能放在数的首位。 类型2 加乘原理综合 典型例题学思维 用数字0、1、2、3、4、5组数，可以组成（ ）个没有重复数字且是偶数的四位数。 思路引导 1.审题分析：先分析个位，偶数的个位可以是0、2、4，有3种选择。 需要分为0在个位上与0不在个位上两类情况进行讨论。 2.图解思路 利用乘法原理，这一类有 利用乘法原理，这一类有 1×5×4×3＝60（个）。 2×4×4×3＝96（个）。 综上，利用加法原理，一共有60十96＝156（个）。 规范解答 1.加法原理：明确完成一件事情需要分几类，每一类相互独立，利用加法原理，把每一类的方法数相加。 2.乘法原理：明确每一类中需要分几步，步步相关，缺一不可，利用乘法原理，把每一步的方法数相乘。 3.较复杂的计数问题中，有时需要我们先分类，然后在每一类中分步计数，需要综合使用加法原理和乘法原理。 举一反三 拓思维 1、某信号兵有红、黄、蓝、绿四色信号旗各一面，他在旗杆上挂信号旗时，每次可以从上到下依次挂一面、两面或三面。那么这个信号兵一共可以表示出多少种不同的信号? 2、用0、1、2、3、4这五个数字，按要求组数。 （1）可以组成（ ）个三位数。 （2）可以组成（ ）个无重复数字的三位数。 （3）可以组成（ ）个无重复数字且是奇数的三位数。 （4）可以组成（ ）个无重复数字且是偶数的三位数。 变式：东东的糖罐里有三种糖：10 块不同的水果糖，20 块不同的棒棒糖和 30 块不同的奶糖。 （1）若东东只能吃其中的一块糖，有（ ）种选择. （2）若三种糖可以各吃一块，有（ ）种选择。 （3）若只能吃两块不同种类的糖，有（ ）种选择. （4）若可以随意吃两块，有多少种选择? 点拨：吃两块不同种类的糖，可以分为水果糖十棒棒糖、水果糖十奶糖、棒棒糖十奶糖，共3类；随意吃两块，不需要考虑顺序，若分两步计算，每种情况都算了2次。 融会贯通 1、书店里有12种数学参考书.10 种英语参考书和11 种语文参考书。 （1）若天天任意买一本，有（ ）种不同的选择。 （2）若天天每科只买一本.有（ ）种不同的选择。 （3）若天天挑两科各买一本.有（ ）种不同的选择。 （4）若天天任意买两本，有（ ）种不同的选择。 2、有2面红色小旗、3面黄色小旗和3面蓝色小旗.任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号。 （1）一共可以表示多少种不同的信号? （2）如果红色小旗不能打头，那么有多少种不同的信号? 3、某项工作需要2名钳工和2名电工共同完成。现有3名钳工、3 名电工，另有1人钳工、电工都会。如果从这7人中选4人完成这项工作，一共有多少种方法? 1 $$