21.1 一元二次方程 导学案 2023—2024学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程 学习目标： 1．理解一元二次方程的概念，能够判断一个方程是不是一元二次方程； 2．掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称，会将一元二次方程化为一般形式； 3．了解一元二次方程的根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的根； 4．在经历由具体问题抽象出一元二次方程概念的过程中，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强对一元二次方程的感性认识. 学习重点:通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 学习难点预测:一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 学习内容:教材 知识链接或知识卡片:黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。——毕达哥拉斯 学习流程: 知识点一、一元二次方程 （一）自主学习 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上） 与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ （二）合作探究 列方程解决下列问题： 问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析：（1）问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？ （2）设 为xcm,则盒底的长为 cm,宽为 cm, 由此可列方程方程 ，化简得 . 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：（1）这次排球赛共安排 场; （2）若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各赛一场，这样共应有 场比赛； （3）由此可列出的方程为 ，化简得 . 思考：观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？ 〖归纳总结〗一元二次方程：等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的 的方程，叫做一元二次方程. 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. B.3x2-5xy+y2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D.ax2+bx+c=0 练习：判断下列方程是否为一元二次方程？ 知识点二、一元二次方程的一般形式 〖归纳总结〗一元二次方程的一般形式： ，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. 思考：为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？ 例2 当a为何值时，下列方程为一元二次方程？ 例3 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 练习：将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项： （1）5x2-1=4x; (2)4x2=81； （3）4x(x+2)=25； (4)(3x-2)(x+1)=8x-3. 知识点三、一元二次方程的解（根） 〖归纳总结〗一元二次方程的解（根）：使一元二次方程 的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例4 已知关于x的一元二次方程 (m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m的值. 练习：已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a2+2a的值. 达标测评 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2； x2=0； (x+3)(2x-4)=x2； 3y2=(3y+1)(y-2)； x2=x3+x2-1； 3x2=5x-1. 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋