12.8 基本作图 第2课时-教学设计2023-2024学年京改版八年级数学上册

课程基本信息 课题 基本作图（2） 教学目标 教学目标：1、会用尺规作角平分线，作线段的垂直平分线； 2、尝试探索作角平分线和作线段垂直平分线的方法，； 3、运用角平分线和线段垂直平分线的相关内容解决简单问题 4、通过探索角平分线的两种基本作图的画法并证明其合理性，养成独立思考的习惯,发展空间想象能力和推理能力，培养严谨求实的科学态度。 教学重点：两个基本作图的方法，四个定理的简单应用 教学难点：对作图方法合理性的探究，运用定理解决问题 教学过程 5分15秒 7分10秒 9分23秒 13分02秒 15分46秒 19分10秒 21分20秒 引入 作图探究 定理探究 定理 应用 作图探究 定理探究 定理应用 1、 引入 这节课我们来接着研究基本作图，在美丽的大千世界中，尺规还能帮我们画出什么呢？角的平分线能帮我们解决很多问题，这节课我们就先来探究如何作一个角的平分线。已知：∠AOB,求作：射线OC，使它平分∠AOB。 二、新课 （一）基本作图：作角的平分线 已知：. 求作：射线OC，使它平分. 学生思考该如何作图，并说出作图依据。 预设：学生作出的等角，即 随后探究：OA作为的平分线是怎么构造出来的。 通过探究发现：要得到OA，我们需要在∠COB的内部构造出一对三边对应相等的全等三角形。第一对构造OC=OE,我们可以以O点为圆心，任意长为半径画弧,分别与角的两边交于C、E两点，就得到了OC=OE。下面构造CD=ED，分别以C、E两点为圆心，以足够长为半径画弧，两弧的交点就是D点。足够长到底要多长呢？用数学语言怎么刻画？这个长度只要大于的长，两弧就会有交点了。 教师用图形展示：为什么半径小于或等于不可以。 所以我们分别以C、E两点为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧的交点就是D点。这样做我们就得到了CD=ED，还得到了OD这组公共边,根据边边边定理，我们能得到,所以,连接OD并延长，得到的射线OA就是的平分线了。由此，就可以得到作任意一个已知角的平分线的方法了。 下面请学生和教师一起完成画图。 （1） 我们先以O点为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E； （2）再分别以D、E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C； （3）作射线OC. OC就是所求作的射线. 小结：做一个角的平分线，就是在这个角的内部构造一对三边对应相等的全等三角形，因为这三对边中有一对公共边，所以我们构造两对等边就够了。明白了这个原理，相信同学们已经掌握了做角平分线的方法。 （二）角平分线定理1 下面我们还要对它进行深入的研究。看看角平分线上的点有什么特点呢？如图所示，如果OC是任意一个∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM与PN有什么数量关系呢？ 学生猜想：PM=PN 教师分析：由OC平分∠AOB，可以得到∠1=∠2，由PM⊥OA，PN⊥OB，得到∠3=∠4，因为OP=OP，根据角角边，∆MOP≌∆NOP。所以PM=PN。 教师引导：请同学们用你智慧的大脑来想想：PM,PN分别是什么？说对了，是点P到角两边的距离。当点P在OC上运动时，这个结论仍然成立。所以我们把它总结成一个定理，来说明角平分线上的点具有的性质。你能试着用自己的语言叙述这个定理吗？ 角平分线的定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等。 教师提醒：符号语言中别忘了条件PM⊥OA，PN⊥OB. （三）角平分线定理2 如果把定理的结论作为已知，又能得到什么呢？也就是说，在角的内部，到角两边距离相等的点都会落在哪呢？ 我们把它写成数学语言。如图所示，点P是∠AOB内部一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，且PM=PN，点P会落什么位置呢？ 教师引导学生分析出△MOP≌△NOP，从而得出点P在角的平分线上。 角平分线定理2：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 提醒学生在写符号语言的时候，同样要注意PM⊥OA，PN⊥OB的条件。 （四）例题解析 例 已知：如图，Rt∆ABC中，∠C=90°CA=CB，AD平分∠BAC， DE⊥AB于E. 求证：DC=BE. 教师分析：由∠C=90度，CA=CB，得到∆ABC是个等腰直角三角形。∠B就是45度，又因为DE⊥AB，所以∆DEB也是个等腰直角三角形。DE就等于BE.又因为AD平分∠BAC，CD⊥AC，加上DE⊥AB，我们看到D就是∠CAB平分线上一点，而DC,DE就是点D到这个角两边的距离，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，我们就可以得到DC=DE.等量代换，我们就得到了DC=BE. 小结：这道题让我们体验到，由角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以直接得到线段相等，不必再去证全等，大大简化了推理过程。 （5） 基本作图 ：作线段的垂直平分线 请思考：