专题3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 知识点1 一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 知识点2 二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点3 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 重难点1一元二次不等式的解法 【例1】（多选）下列不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 【例2】 的解集为_____. 解一元二次不等式的一般步骤 （1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零； （2）计算对应方程的判别式； （3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； （4）根据函数图象与轴的相关位置写出不等式的解集． 【变式1-1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【变式1-3】不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 重难点2二次函数的含参问题 【例3】函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数， (1)若，求在区间上的最大值与最小值； (2)若在区间上是增函数，求的取值范围 【变式2-1】已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为_____. 【变式2-2】若函数y＝x2－3x－4在［0，m］上的最大值和最小值分别为－4，，则实数m的取值范围是_____. 【变式2-3】已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 重难点3三个“二次”关系的应用 【例5】已知不等式的解集是，求a，c的值. 【例6】已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 （1）一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根，也是函数的图象与轴交点的横坐标． （2）二次函数的图象在轴上方的部分，是由不等式的的值构成的；图象在轴下方的部分，是由不等式的的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 【变式3-1】（多选）已知方程有且只有一个实数根，则（   ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 【变式3-2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为_____． 【变式3-3】（多选）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 重难点4含参数的一元二次不等式的解法 【例7】解下列关于的不等式． 【例8】若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 解含参数的一元二次不等式时 （1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； （2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； （3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【变式4-1】解关于的不等式. 【变式4-2】已知函数 (1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围； (2)若，解关于x的不等式． 【变式4-3】解下列关于的不等式． 重难点5解简单的分式不等式 【例9】设集合，则集合_____． 【例10】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【变式5-1】不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-2】设p：，q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-3】已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 重难点6有关一元二次不等式恒成立的问题 【例11】已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围 【例12】已知二次函数的最小值为，且其图象过点，. (1)求二次函数的解析式； (2)在区间上，二次函数