专题3.2 基本不等式（七个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题3.2基本不等式 知识点1 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点2 基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 重难点1直接法求最值 【例1】已知a、，且，则ab的最大值是_____. 【例2】试题）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 【变式1-1】已知a，b为两个正实数，且，则的最大值为_____． 【变式1-2】已知，，且，则的最大值是_____. 【变式1-3】已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_____. 重难点2配凑法求最值 【例3】的最小值为_____． 【例4】当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 1.通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2.注意验证取得条件． 【变式2-1】已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】的最小值等于（    ） A．3 B． C．2 D．无最小值 【变式2-3】已知，那么的最小值为_____． 重难点3 “1”的代换求最值 【例5】正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 【例6】已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1.根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2.注意验证取得条件． 【变式3-1】已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3-2】设为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，，则的最小值为_____. 重难点4商式求最值 【例7】函数的值域是_____. 【例8】若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【变式4-1】的最大值为_____. 【变式4-2】求的最小值_____. 【变式4-3】函数的最小值为_____ 重难点5利用基本不等式证明不等式 【例9】已知，，，且．求证：． 【例10】已知是正实数. (1)若，证明：； (2)证明：. （1）利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． （2）注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 【变式5-1】若正数a，b，c满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 【变式5-2】设，，均为正数，且，证明： (1)； (2). 【变式5-3】已知，，且，求证：. 重难点6利用基本不等式求解实际问题 【例11】某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本已知购买m台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备（    ） A．100台 B．200台 C．300台 D．400台 【例12】已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是_____． 解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)． 【变式6-1】常州在中国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资(单位：万元)，经计算与市场评估得，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中). (1)预测出2023年的利润(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)； (2)当2023年装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润. 【变式6-2】某中学计划在劳动实习基地的空地上用篱笆围出一个面积为的矩形菜地，则需要的篱笆长度至少是_____m. 【变式6-3】某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4