第五章圆锥曲线(课件）-中职《数学（拓展模块上册）》同步教学（哈尔滨工程大学出版社）

第五章 圆锥曲线 YUAN ZHUI QU XIAN 目录 Contents 一 椭圆 二 双曲线 三 抛物线 5.1 椭圆 ” 1.椭圆的定义 如图5-1所示，我们将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点处，并使绳长大于F1，F2的距离，用笔尖将绳子拉紧，并保持拉紧的状态，在画板上慢慢移动，观察所画出的图形. 从以上绘图过程中可以看出，笔尖（即M点）在移动过程中，与两个定点F1，F2的距离之和始终保持不变，即等于该绳子的长度. 所画出的图形就是椭圆.我们将平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离，即|F1F2|叫作椭圆的焦距. 如果把细绳两端的距离拉大，是否还能画出椭圆？ 5.1.1椭圆的概念及标准方程 2.椭圆的标准方程 5.1 椭圆 5.1.1椭圆的概念及标准方程 以椭圆的焦点F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图5-2所示. 设点P（x，y）为椭圆上的任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），其中c>0，则|F1F2|=2c；点P到焦点F1，F2的距离的和为2a( 2a>2c>0). 2.椭圆的标准方程 5.1 椭圆 5.1.1椭圆的概念及标准方程 由椭圆的定义可知 |PF1| + | PF2| = 2a 即 通过移项、两边平方后得 (a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2) 2.椭圆的标准方程 5.1 椭圆 5.1.1椭圆的概念及标准方程 为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2=a2－c2，又因为2a > 2c >0，即a>c>0，可得椭圆的标准方程为 （5-1） 我们把方程（5-1）叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0），F2（c，0），其中c>0，且c2= a2-b2，我们把F1叫作椭圆的左焦点，F2叫作椭圆的右焦点. 同理，我们可以得到焦点F1，F2在y轴上的椭圆的标准方程.如图5-3所示，我们以过椭圆的焦点F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，并设F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，且c2= a2-b2，那么我们可以得到椭圆的方程为 2.椭圆的标准方程 5.1 椭圆 5.1.1椭圆的概念及标准方程 （5-2） 我们把方程（5-2）也叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，字母a，b的意义同上，且c2= a2-b2. 例1 指出下列椭圆中a，b，c的值，并说出焦点所在的坐标轴. 分析:解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上.方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪条坐标轴上. 2.椭圆的标准方程 5.1.1椭圆的概念及标准方程 解: （1）因为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2=25，b2=16，则c2=a2-b2=25-16=9 可求出a=5，b=4，c=3. 5.1 椭圆 例1 指出下列椭圆中a，b，c的值，并说出焦点所在的坐标轴. 解: （2）因为169>25，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2=169，b2=25，则 c2=a2-b2=169-25=144 可求出 a=13，b=5，c=12 2.椭圆的标准方程 5.1.1椭圆的概念及标准方程 5.1 椭圆 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点 ，求它的标准方程. 分析:首先根据所给椭圆的两个焦点的坐标可判断该椭圆的焦点是在x轴上. 2.椭圆的标准方程 5.1.1椭圆的概念及标准方程 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义可知 5.1 椭圆 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点 ，求它的标准方程. 解:所以 2.椭圆的标准方程 5.1.1椭圆的概念及标准方程 又因为c=2，所以 b2=a2－c2=10－4=6 因此，所求椭圆的标准方程为 5.1 椭圆 1.求下列椭圆的焦点与焦距. （1） （2） （3） （4） 13x2+5y2=65. 做一做 5.1 椭圆 5.1.1椭圆的概念及标准方程 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1） a=4，b= ，焦点在x轴上； （2） a=4，c=1，焦点在y轴上； （3） 焦距为2，且过点(0, ). 做一做 5.1 椭圆 5.1.1椭圆的概念及标准方程 5.1.2椭圆的几何性质及应用 以椭圆标准方程 为例认识椭圆的性质. 5.1 椭圆 1.图形中x，y的