第二章三角计算(课件）-中职《数学（拓展模块上册）》同步教学（哈尔滨工程大学出版社）

第二章 三角计算 SAN JIAO JI SUAN 2.1 和角公式 ” 2.1.1两角和与差的余弦公式 对于30°和60°角有 显然， ” 由此可知，一般情况下，对于任意两个角α和β， 那么，cos(α+β)与cos α,cos β到底有什么关系呢? 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 ” 如图2-1所示，设∠P1OD，∠P1OP的大小分别为α，β，则α－β=∠POD. 过点P作PM⊥x轴，垂足为M；作PA⊥OP1，垂足为A.过点A作AB⊥x轴，垂足为B；过点P作PC⊥AB，垂足为C. 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 由图2-1可知， ” 因为∠PAC=90°－∠OAB，α=90°－∠OAB，所以∠PAC=α. 那么， 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 又因为 所以 ” 由此，我们得到了两角差的余弦公式 式(2-1)反映了α-β的余弦与α，β的正弦、余弦之间的关系.因此，式(2-1)称为两角差的余弦公式. 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 (2-1) ” 将式（2-1）中的β换成-β,则有 由此，我们得到了两角和的余弦公式 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 式(2-2)反映了α+β的余弦与α,β的正弦、余弦之间的关系.因此，式(2-2)称为两角和的余弦公式. (2-2) 例1 不用计算器，求cos 75°和cos 15°的值. 解: （1）将75°看成是30°与45°的和,利用式（2-2）得 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 （2）将15°看成是45°与30°的差,利用式(2-1)得 例2 设 ,并且α和β都是锐角，求cos(α+β)的值. 解:可利用式(2-2)来进行求解，但首先应求出sin α，sin β的值. 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 因为 ,并且α和β都是锐角，所以由 ，得 因此，利用式(2-2)得 例3 已知 ,求cos α. 解:可利用式(2-1)来进行求解，但需要先求出 的值. 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 因为 ,则 .又因为 ,则 因此，利用式（2-1）得 例4 化简下列各式. （1）cos 40°cos 20°-sin 40°sin 20°； （2）cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β. 解:两角和的余弦公式（2-2）把角α+β的三角函数转化成了α，β的三角函数式.如果反过来,从右向左使用式（2-2）,我们就可以将上述的三角函数式化简. 2.1 和角公式 2.1.1两角和与差的余弦公式 1.不用计算器,求下列各式的值. （1）cos 105°；（2）cos 225°. 2.化简下列各式，并求值. （1）cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°； （2） 做一做 2.1 和角公式 2.1.2两角和与差的正弦公式 我们已经学习了两角和与差的余弦公式，那么，两角和与差的正弦公式是怎么样的呢? 根据诱导公式 ,可以实现正弦和余弦之间的转化,因此 2.1 和角公式 2.1.2两角和与差的正弦公式 由此，我们得到了两角和的正弦公式 式(2-3)反映了α+β的正弦函数值与α，β的正弦、余弦之间的关系.因此,式(2-3)称为两角和的正弦公式. 2.1 和角公式 (2-3) 2.1.2两角和与差的正弦公式 将式(2-3)中的β换成-β,则有 2.1 和角公式 2.1.2两角和与差的正弦公式 由此，我们得到了两角差的正弦公式 式(2-4)反映了α-β的正弦函数值与α，β的正弦、余弦之间的关系.因此,式(2-4)称为两角差的正弦公式. 2.1 和角公式 (2-4) 例5 不用计算器,求sin 75°和sin 15°的值. 解:(1)将75°看成是30°与45°的和,利用式(2-3)得 2.1 和角公式 2.1.2两角和与差的正弦公式 (2)将15°看成是45°与30°的差,利用式（2-4）得 例6 已知 ,求 的值. 解:首先应求出sin α的值. 2.1 和角公式 2.1.2两角和与差的正弦公式 则 由于 ,所以 例7 化简下列各式. （1）sin 12°cos 18°+cos 12°sin 18°； （2）sin βcos(α-β)+cos βsin(α-β). 解:两角和的正弦公式