第三章数列(课件）-中职《数学（拓展模块上册）》同步教学（哈尔滨工程大学出版社）

第三章 数列 SHU LIE 3.1 数列的概念 ” 3.1.1数列的基本概念 先看几个例子，将正整数从小到大排成一列数为 1,2,3,4,5,… 将上列数的倒数排成一列新的数为 将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为 2,22,23,24,25,… ” 在上面的例子中，按照一定的顺序排成的一列数叫作数列.数列中的每个数都叫作这个数列的项.在一个数列中，从开始的项起，自左至右排序，各项按照其位置依次叫作这个数列的第1项（首项），第2项，第3项，…，第n项，….其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3，…，n,…分别叫作对应项的项数. 只有有限项的数列叫作有穷数列，有无限多项的数列叫作无穷数列.如引言中的树、枝、巢、大鸟、小鸟、小鸟羽毛及羽毛上的颜色的数量构成的数列即为有穷数列. 3.1 数列的概念 3.1.1数列的基本概念 写出下列各组数列，并指出哪些数列是有穷数列，哪些数列是无穷数列. （1）自然数1,2,3,4,5的平方组成的一列数； （2）整数－5,－4,－3,－2,－1,0的绝对值组成的一列数； （3）正整数1,2,3,4,5,…的立方组成的一列数. 做一做 3.1 数列的概念 3.1.1数列的基本概念 3.1.2数列的通项公式 由于数列的项都是按一定的顺序排列的，则每项都占有一个不同的序号.因此，在一个数列中，每项与它的序号都有一一对应的关系. 数列的一般形式可以写作 a1,a2,…,an,…(n∈N*) 记作{an}，其中下脚标的数字代表项数.因此，通常把第n项an叫作数列{an}的通项或一般项. 3.1 数列的概念 例如，数列1,2,3,…,n,…可以简记为{n}；数列 可以简记为 如果数列{an}的第n项an能够用关于项数n的一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式. 例如，数列2,3,4,5,…的通项公式是an=n+1，可以记为{n+1}； 数列 的通项公式是 ，可以记为 数列2,22,23,24,25,…的通项公式是an=2n，可以记为{2n}. 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 知道了一个数列的通项公式后，只要用正整数1,2,3,…依次代替公式中的n，就可以求出这个数列的每项. 例1 设数列的通项公式为 ，写出数列的前5项. 解: 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 例2 写出数列的通项公式，使它的前4项分别为下列各数： （1）5,10,15,20； （2） 解:（1）这个数列的前4项都是5与项数的乘积，所以它的一个通项公式为 an=5n （2）这个数列的前4项分别为奇数的倒数，所以它的一个通项公式为 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 例3 判断16和47是否为数列{5n+1}中的项，如果是，请指出是第几项. 解:数列的通项公式为an=5n+1，将16代入数列的通项公式，有 16=5n+1 解得 n=3∈N* 所以,16是数列{5n+1}中的第3项. 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 例3 判断16和47是否为数列{5n+1}中的项，如果是，请指出是第几项. 解:将47代入数列的通项公式，有 47=5n+1 解得 所以,47不是数列{5n+1}中的项. 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 1.根据下列各数列的通项公式写出数列的前5项. （1）an=10n； （2）an=3n+1； （3）an=5×(－1)n+1. 做一做 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 2.根据下列数列的前4项写出数列的一个通项公式. （1）4,9,16,25； （2） （3） 做一做 3.1.2数列的通项公式 3.1 数列的概念 3.2 等差数列 3.2.1等差数列的概念 将正整数中3的倍数从小到大排列，组成数列 3,6,9,12,15,… 将正偶数从小到大排列，组成数列 2,4,6,8,… 在第一个数列中，从第2项起，数列中的每一项与它前一项的差都为3；在第二个数列中，从第2项起，数列中的每一项与它前一项的差都为2.因此，这两个数列有一个共同点：从数列的第2项起，数列中的每一项与它前一项的差都为同一个常数. 一般地，如果数列 a1,a2,…,an,… 从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫作等差数列.常数叫作等差数列的公差，一般用字母d表示. 3.2 等差数列 3.2.1等差数列的概念 由定义可知，若数列{an}为等差数列，d为公差，则an+1－an=d，即 an+1=an+d （3-1） 在上面的例子中，两个数列都为等差数列，公差分别