2.4 圆的方程 精讲（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 重点：1、会用定义推导圆的标准方程；2、根据圆的方程确定圆心和半径； 难点：1、根据不同的已知条件求圆的方程；2、二元二次方程的化简与求解；3、求与圆有关的动点轨迹问题及最值问题等。 一、圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 二、圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）. （2）不含项； （3） 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 三、圆的方程的两种求法 1、几何法：利用图形的平面几何性质，如“弦的中垂线必过圆心”，“两条弦的中垂线的交点必为圆心”，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标半径，进而得到圆的标准方程。 2、待定系数法：设出圆的方程，由三个独立的条件列出关于三个参数的方程组，解出参数的值，代入即得到圆的方程。 选用标准方程还是一般方程的原则：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程，否则可设圆的一般方程。 待定系数法求圆的方程的步骤： ①设：根据题意，设出所求圆的标准方程或圆的一般方程 ； ②列：根据已知条件，建立关于或的方程组； ③解：解方程组，求出或； ④代：将或的值代入所设方程，即得所求圆的方程。 四、点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆A上 或 点在圆A内 或 点在圆A外 或 五、轨迹与轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. “轨迹”与“轨迹方程”有区别： （1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征； （2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 六、求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤 1、求圆心与定点见的距离. 2、根据圆的几何性质知：（为半径） （1）当点在圆外时，，; （2）当点在圆内时，，. 题型一 由圆的方程求圆心与半径 【例1】（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）圆的圆心为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·海南海口·高二校考期中）已知圆：，则该圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）圆，则圆心坐标为 ，半径 ． 题型二 求圆的标准方程 【例2】（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023秋·高二课时练习）（多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（ ）