6.1 《两点间距离公式和线段的中点坐标公式》教学设计-中职《数学基础模块下册》同步教学（湖南科技出版社）

6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式 【教学目标】 1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程； 2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式，并能熟练应用这两个公式解决有关问题； 3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质． 【教学重点】 两点间距离公式和线段的中点坐标公式． 【教学难点】 距离公式与中点公式的应用． 【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．本节教学中，将平面（二维）的数量关系转化为轴（一维）上的数量关系是关键．先从x轴、y轴上两点距离入手，通过构建直角三角形，将两点间的距离转化为直角三角形的斜边长，从而利用勾股定理求出两点间的距离．最后讨论了平面直角坐标系中的中点公式．教学过程中，通过分组抢答的形式，充分调动学生的积极性． 【教学过程】 环节 教学内容 师生互动 设计意图 引 入 平面上建立了直角坐标系xOy后，平面上的每一个点就有了坐标．这样对于平面上的一个图形，就可以根据它上面的点的坐标所具有的特征性质来研究这个图形的性质． 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－2，0），A，B之间的距离是多少呢？点C（0，4）与点D（0，－1）之间的距离又是多少呢？ 两点A，B的距离等于线段AB的长度，记作|AB|．从x轴上可看出： |AB|＝5＝3－（－2）＝|（－2）－3|． 从y轴上可看出： |CD|＝5＝4－（－1）＝|（－1）－4|． 由此得出规律： x轴上两点的距离等于它们的横坐标之差的绝对值； y轴上两点的距离等于它们的纵坐标之差的绝对值． 师：由坐标轴上两点的距离公式．那么在平面直角坐标系内，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求这两点的距离？ 提出问题，激发学生的学习兴趣． 新 课 新 课 1. 距离公式 探究一 一般情形下，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离是多少？ 如图，过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分别为A1，A2，B1，B2，其中直线BB1和AA2相交于点C．x y B A C A1 A2 B2 B1 O 则为直角三角形，它的两条直角边CA，CB的长度分别为： ， 因此它的斜边AB的长度为： 从而两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为 ． 例1 求两点A(－2，5)，B(3，－7)的距离．． 例2 已知的顶点A,B,C的坐标分别是，，，求各边的长． 2. 中点公式 引导学生回顾初中学的“平行线等分线段定理”，通过观察得出平面直角坐标系中x、y轴上的线段的中点坐标，带领学生探究一般情形下线段AB的中点M的坐标与两端点A、B的坐标有什么关系． 探究二 如图所示，若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点. 过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2．则，，，，，，且AA1，BB1，MM1是一组平行线，AA2，BB2，MM2是一组平行线． 根据平行线等分线段定理，x y B A A1 A2 B2 B1 O M1 M2 M 由于点M为线段AB的中点， 因此点线段的中点， 从而的坐标为． 同理，的坐标为． 所以，线段AB的中点M的坐标为， 即线段AB的中点M的坐标(x，y)满足 此式称为线段的中点坐标公式． 例3 已知线段PQ的两个端点P、Q的坐标分别为 (2，-3)，(－5，4)，求线段PQ的中点G的坐标． 例4 已知的顶点A,B,C的坐标分别是，，，设D、E分别是边BC，AC的中点，求D，E的坐标． 教师提出探究问题，学生根据已有的知识探究问题的解： （1）以上四个垂足的坐标分别是多少？ （2）|AC|与|A1B1|关系如何？如何求|A1B1|？ （3）|BC|等于多少？ （4）在直角三角形ABC中，如何求|AB|？ （5）你能表示出|AB|吗？ 教师在学生探究的基础上，投影距离公式，并让学生记忆． 教师引导学生运用两点间距离公式. 学生做题，教师巡视指导． 教师提出要探究的问题，学生解答以下问题： （1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐标吗？ （2）M1是A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？ （3）M2是A2，B2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？ （4）你能写出点M的坐标吗？ 学生抢答，教师点评． 教师规范解题步骤． 将探究问题细化为5个小问题，层层递进，降低了问题的难度，从而有利于学生解答． 为了便于理解，将过A，B两点向x轴和y轴做垂线的过程，分解为分别向x轴做垂线和向y轴做垂线两步． 在探究过程中，进一步深化对公式的理解与掌握． 通过例题的解答，使学生熟悉求两点间距离． 检验学生对公式掌握情况． 将问题细化为4问