5.2三角函数的概念(课件）-中职《数学基础模块（下册）》同步教学（湖南科技出版社）

第5章 角的概念，弧度制 5.1 三角函数的概念 5.2 同角三角函数值的基本关系式 5.3 诱导公式 5.4 三角函数的周期 5.5 正弦函数的性质与图像 5.6 余弦函数的性质与图像 5.7 已知三角函数值求指定区间内的角 5.8 三角函数的概念 5.2 5.2 三角函数的概念 回顾 利用相似三角形的上述判定定理和性质，我们可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数，角α的邻边与斜边的比值为一个常数，角α的对边与邻边的比值为一个常数.于是我们给出下述概念： 如图5-7，在Rt△ABC中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦，记作sinα，即 锐角α的邻边与斜边的比值叫作角α的余弦，记作cosα，即 锐角α的对边与邻边的比值叫作角α的正切，记作tanα，即 5.2 三角函数的概念 知识拓展 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.例如，地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等，这些现象都可以用三角函数来刻画. 位于我国江西南昌的摩天轮“南昌之星”总高度为160 m,转盘直径为153 m;运转一周约30 min,座舱(悬在外面的观景舱)的数量为60个,每个座舱的载客量为8~10人.每逢节假日,摩天轮总是格外的繁忙,这时每个座舱就不停地绕着摩天轮的中心一周一周地旋转.对于每个座舱而言,它离开地面的高度会随着时间的不断延续而循环往复、周而复始地变化. 5.2 三角函数的概念 探索 在现实世界的许多实际问题中，我们需要应用到任意角的正弦、余弦、正切.它们的概念应如何规定呢？ 为了研究任意角的正弦、余弦、正切，我们先在平面上建立一个直角坐标系xOy. 设α是任意一个角，它的终边为OA，如图5-8所示.在角α的终边OA上任取一点P（x,y），点P与原点的距离为r（r>0）.从锐角的正弦、余弦、正切的定义受到启发，我们来考虑下述三个比值： 5.2 三角函数的概念 探索 其中第三个比值 当角α的终边在y轴上时没有意义（因为此时点P的横坐标x=0），其他情况都有意义.当角α的终边OA不在坐标轴上时，运用相似三角形的判定定理和性质，可以证明比值 与点P在α的终边上的位置无关；当角α的终边在坐标轴上时，很容易证明这三个比值也与点P在α的终边上的位置无关.于是把这三个比值依次叫作角α的正弦、余弦、正切，分别记作sinα,cosα,tanα，即 其中点P不是原点；当角α的终边不在y轴上时，tanα才有意义. 5.2 三角函数的概念 探索 终边在y轴上的角可以由角π2的终边绕原点按逆时针方向（或顺时针方向）旋转k个半周得到，其中k是一个正整数或0，于是终边在y轴上的角可以表示成 因此，终边在y轴上的所有角组成的集合是 5.2 三角函数的概念 例1：已知角α的终边上一点P（-4,-3），分别求sinα,cosα,tanα. 解：如图5-9，由勾股定理易求出点P到原点的距离为 因此 5.2 三角函数的概念 探索 从例1看到，角α的终边在第三象限时，sin α和cos α都带负号（指它们的值是负数），而tan α带正号（指它的值是正数）.试问：对于各个象限的角，它们的正弦、余弦、正切所带的正负号有什么规律？ 由于角α的正弦、余弦、正切分别是比值，它们与α的终边上一点P的位置无关.因此我们可以在角α的终边上取与原点O的距离为1的点作为点P，它位于以原点O 为圆心、半径为1的圆上，这个圆称为单位圆. 5.2 三角函数的概念 探索 设角α的终边与单位圆的交点为P(x,y),则 这表明：角α的终边与单位圆的交点P的横坐标x等于cosα，纵坐标y等于sinα. 利用上述结论，当角α的终边位于各个象限时，sinα,cosα,tanα的正负号如下表所示： 5.2 三角函数的概念 探索 为了便于记忆，我们把sinα,cosα,tanα的正负号标在各个象限内，见图51-0. 我们在5.1节例4后的“评注”中介绍了可以把所有角组成的集合与实数集R等同看待. 5.2 三角函数的概念 抽象 任意给一个实数x，把x看成角，则有sinx，cosx.于是每一个实数x与唯一的一个实数sinx对应，从而有函数y=sinx. 定义1 函数y=sinx称为正弦函数，它的定义域是实数集R . 同样的道理，每一个实数x与唯一的一个实数cosx对应，从而有函数y=cosx. 定义2 函数y=cos x称为余弦函数，它的定义域是实数集R . 设 ，把x看成角，则有tanx，从而有函数y=tanx. 定义3 函数y=tanx称为正切函数，它的定义