5.3同角三角函数值的基本关系式(课件）-中职《数学基础模块（下册）》同步教学（湖南科技出版社）

第5章 角的概念，弧度制 5.1 三角函数的概念 5.2 同角三角函数值的基本关系式 5.3 诱导公式 5.4 三角函数的周期 5.5 正弦函数的性质与图像 5.6 余弦函数的性质与图像 5.7 已知三角函数值求指定区间内的角 5.8 同角三角函数值的基本关系式 5.3 5.3 同角三角函数值的基本关系式 探索 在5.2节的例1中， 把（sinα）2记作sin2α,把（cosα）2记作cos2α.由此猜测并且可以证明下述结论： 命题 （同角三角函数值的基本关系式） （1） （2） 5.3 同角三角函数值的基本关系式 探索 命题 （同角三角函数值的基本关系式） 证明 设角α的终边与单位圆交于点P（x,y），则sinα=y,cosα=x. 情形1 点P不在坐标轴上，利用勾股定理sin2α+cos2α=y2+x2=|y|2+|x|2=1. 根据角α的正切的定义得 5.3 同角三角函数值的基本关系式 探索 命题 （同角三角函数值的基本关系式） 情形2 点P在x轴上，则y=0，x=1或-1，于是sin2α+cos2α＝02+（±1）2＝1. tan α＝0±1＝0＝sin αcos α. 情形3 点P在y轴上，则x=0,y=1或-1.于是sin2α+cos2α＝（±1）2+02＝1. 此时，tan α不存在. 5.3 同角三角函数值的基本关系式 例2：已知tan α＝ ，且α是第二象限的角，求sinα,cosα 解：设α的终边与单位圆的交点为P（x,y），则sinα＝y,cosα=x,由于α是第二象限的角，因此x<0,从而cosα=x<0,于是 由于x2+y2=1,因此 ，解得 由于α是第二象限的角，因此x<0，从而 . 于是 于是 因此 诱导公式 5.4 5.4 诱导公式 回顾 同学们在初中学习了利用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值.例如，求sin15°的值（精确到0.000 1）. 屏幕上显示： 因此 sin15°≈0.258 8. 依次按下列各键： 5.4 诱导公式 回顾 又如，求cos75°23′的值（精确到0.000 1）. 屏幕上显示： 因此 cos75°23'≈0.252 4. 于是依次按下列各键： 5.4 诱导公式 探索 如何求任意一个角的正弦、余弦、正切值呢？ 第一步：角α+2kπ（k∈Z）的正弦、余弦、正切与α的正弦、余弦、正切有什么关系？ 由于角α+2kπ的终边与α的终边相同，从而根据角的正弦、余弦、正切的定义得 5.4 诱导公式 探索 由于α+2kπ=2kπ+α，因此上述式子可以写成： (1) (2) (3) 5.4 诱导公式 例1：求下列三角函数值： 解： 5.4 诱导公式 探索 第二步：角-α的正弦、余弦、正切与角α的正弦、余弦、正切有什么关系呢？ 设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角-α的终边与单位圆交于点Q，如图5-11所示.由于角α与角-α的旋转方向相反，而旋转的数量相同，因此角α的终边与角-α的终边关于x轴对称，从而点P（x,y）与点Q关于x轴对称，于是点Q的坐标为（x,-y）.因此 5.4 诱导公式 探索 即 (4) (5) (6) 5.4 诱导公式 例2：求下列三角函数值： 解： 5.4 诱导公式 探索 即 由（1）式到（6）式得 (8) (9) (7) 5.4 诱导公式 例3：求下列三角函数值： 解： 5.4 诱导公式 探索 第三步：角α的正弦、余弦、正切与角π+α的正弦、余弦、正切有什么关系？ 设角α的终边与单位圆交于点P（x,y），角π+α的终边与单位圆交于点M，如图5-12所示. 角π+α可以由角α的终边OP绕原点按逆时针方向旋转半周得到，因此角π+α的终边OM是OP的反向延长线，从而点M与点P（x,y）关于原点对称，于是点M的坐标为（-x,-y）.因此 5.4 诱导公式 探索 即 (11) (12) (10) 5.4 诱导公式 例4：求下列三角函数值： 解： 5.4 诱导公式 探索 即 由（4）-（6）式和（10）-（12）式得 (14) (15) (13) 5.4 诱导公式 例5：求下列三角函数值： 解： 5.4 诱导公式 评注 上述探索的第一步、第二步、第三步使得我们可以把任意角的正弦、余弦、正切转化为锐角的正弦、余弦、正切，从而可以通过查锐角的正弦表、余弦表、正切表（或使用计算器）求出任意角的正弦、余弦、正切值.因此公式（1）至（15）被称为诱导公式.也可以直接用计算器求出任意角的正弦、余弦、正切值. 5.4 诱导公式 例6： 例7：求sin 735°的值. 解：sin735°=sin(2×360°+15°)=sin15°. 本节开头已用计算器算出sin15°≈0.