5.5三角函数的周期(课件）-中职《数学基础模块（下册）》同步教学（湖南科技出版社）

第5章 角的概念，弧度制 5.1 三角函数的概念 5.2 同角三角函数值的基本关系式 5.3 诱导公式 5.4 三角函数的周期 5.5 正弦函数的性质与图像 5.6 余弦函数的性质与图像 5.7 已知三角函数值求指定区间内的角 5.8 三角函数的周期 5.5 5.5 三角函数的周期 观察 我们在上册第3章3.6节介绍了什么是脉冲信号，例如，一种电气设备的电闸每接通一分钟后就断开一分钟，如此循环往复.电闸接通记作1，电闸断开记作0，于是电闸的状态y是时间x的函数y=f(x).设0≤x＜1时，电闸接通，则y＝f(x)的图像如图5-13所示. 5.5 三角函数的周期 观察 从图5-13看到，y=f(x)的图像可以看作是把它在［0，2］上的图像不断地向右平移2个单位长度，且不断地向左平移2个单位长度得到的.于是有 f(0+2)=f(2)=1=f(0), f(1+2)=f(3)=0=f(1), f(-1+2)=f(1)=0=f(-1), … 从这个例子受到启发，我们引出下述概念. 5.5 三角函数的周期 抽象 定义 设函数y=f(x)的定义域为A，如果有一个非零实数l使得 f(x+l)=f(x),x∈A, 那么称l是y=f(x)的一个周期，此时把y=f(x)称为周期函数. 5. 5 三角函数的周期 回顾 我们在5.4节介绍了终边相同的角的正弦、余弦、正切的关系，即5.4节中的（1）式、（2）式、（3）式： 根据定义，由（1）-（3）式得，2kπ（k∈Z且k≠0）是y=sinx，y=cos，y=tanx的周期，正弦函数、余弦函数、正切函数都是周期函数. (2) (3) (1) 5. 5 三角函数的周期 回顾 根据5.4节的（10）式、（11）式： sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα， 因此π不是y=sin x的周期，π也不是y=cos x的周期.在5.6节和5.7节我们将证明2π是y=sin x，y=cos x的最小正周期. 根据5.4节的（12）式： 因此π是y=tan x的一个周期.在5.8节我们将证明：π是y=tan x的最小正周期. 5. 5 三角函数的周期 回顾 现实世界中有许多现象是随着时间而发生周期性变化的.正弦函数、余弦函数在研究这些周期性变化的现象中起着十分重要的作用. 例如，学校、家庭、工厂用的电都是交流电，它的大小和方向都随时间而变化.最简单的一种交流电，它的电流I随着时间t变化的规律为 其中Im是电流的最大值；ω表示电流变化的快慢，其单位是“弧度/秒”； 称为初相位.这样的交流电称为简谐交流电.我们将在后续专门研究这种函数的性质和图像具体内容将在本套教材的“拓展模块一”中介绍. 5. 5 三角函数的周期 例1：求y=3sinx的一个周期. 例2：求y=2+sinx的一个周期. 解：由于sin（x+2π）=sinx， 因此2+sin（x+2π）=2+sinx. 从而2π是y=2+sinx的一个周期. 解：由于sin（x+2π）=sin x， 因此3sin（x+2π）=3sin x. 从而2π是y=3sin x的一个周期. 正弦函数的性质与图像 5.6 5.6 正弦函数的性质与图像 探索 y=sin x的定义域是实数集R.2π是y=sin x的一个周期，因此我们只要先画出y=sin x在区间[0,2π]或[-π,π]上的一段图像，然后就可以得出y=sinx的图像. 如何画正弦函数y=sin x的图像？ 从5.4节的（4）式得 因此y=sinx在（-∞,+∞）上是奇函数.由于奇函数的图像关于原点对称，因此只要先画出y=sin x在[0,π]上的一段图像，然后就可以得出它在[-π,0]上的一段图像. 5.6 正弦函数的性质与图像 探索 我们来讨论y=sin x在[0,π]上的单调性.设0≤α≤π，且角α的终边与单位圆交于点Px,y，如图5-14所示.于是 从图5-14看出： 当α从0逐渐增大到 时，y从0逐渐增大到1，从而sinα从0逐渐增大到1； 当α从 逐渐增大到π时，y从1逐渐减小到0，从而sinα从1逐渐减小到0. 因此y=sinx在 上是增函数，在 上是减函数. 5.6 正弦函数的性质与图像 探索 列表： 描点：如图5-15所示. 5.6 正弦函数的性质与图像 探索 连线：由于y=sin x在 上是增函数，在 上是减函数，因此可以用一条光滑曲线把描出的各点顺次连接起来，得到y＝sin x在[0,π]上的一段图像，如图5-15所示. 利用y=sin x的图像关于原点对称，可以画出y=sin x在[-π,0]上的一段图像，如图5-15所示. 5.6 正弦函数的性质与图像 探索 利用y=sin x的一个周期为2π,