5.8已知三角函数值求指定区间内的角(课件）-中职《数学基础模块（下册）》同步教学（湖南科技出版社）

第5章 角的概念，弧度制 5.1 三角函数的概念 5.2 同角三角函数值的基本关系式 5.3 诱导公式 5.4 三角函数的周期 5.5 正弦函数的性质与图像 5.6 余弦函数的性质与图像 5.7 已知三角函数值求指定区间内的角 5.8 已知三角函数值 求指定区间内的角 5.8 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 观察 函数y=sin x在 上是增函数，在 上的值域是[-1,1]. 任给b∈[-1,1]，作直线y=b，这条直线与y=sin x在 上的图像相交于唯一的一个点M（a,b），如图5-22所示.根据第3章3.2节关于函数的图像的结论得， 正弦函数y=sin x在区间 上的图像如图5-22所示. 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 抽象 定义1 任意给定b∈[-1,1],在区间 上有唯一的一个数a与它对应，使得 sin a=b, （1） （2） 把a记作sin-1b，即 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 例1：分别求 解： 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 例2：已知sin x= ，求区间［0，2π］内的角x. 解：因为sin x<0，所以x是第三或第四象限的角.于是考虑 因此 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 例4：已知sin x= ，求区间［0，2π］内的角x（精确到0.000 1）. 解：首先把计算器调整到弧度状态，即依次按下列各键： 然后依次按下列各键： 屏幕显示： 因此 于是根据（2）式,在区间 内， 因此x≈0.4115，或x≈π-0.4115≈2.7301. 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 观察 函数y=cos x在[0,π]上是减函数，在[0,π]上的值域是[-1,1]. 任给b∈[-1,1[，作直线y=b，这条直线与y=cos x在[0,π]上的图像相交于唯一的一个点M（a,b），如图5-23所示.于是 . 余弦函数y=cos x在区间[0,π]上的图像如图5-23所示. 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 抽象 定义2 任意给定b∈[-1,1],在区间[0,π]上有唯一的一个数a与它对应，使得 cos a=b, （3） （4） 把a记作cos-1b，即 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 例5：分别求 解： 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 例6：已知cos x= ，求区间［0，2π］内的角x. 解：因为cos x<0，所以x是第二或第三象限的角.于是考虑 因此 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 例7：已知cos x= ，求区间［0，2π］内的角x（精确到0.000 1）. 解：在计算器已处于弧度状态时，依次按下列各键： 屏幕显示： 因此 于是根据（4）式,在区间［0，π］内， 因此x≈1.1279，或x≈2π-1.1279≈5.1553. 5.8 探索 函数y=tan x的定义域是 ，π是它的一个周期.于是我们只要画出y=tan x在区间 上的一段图像，然后就可以得出y=tan x的图像. 如何画正切函数y=tan x的图像？ 从5.4节的（6）式得 因此y=tan x在定义域上是奇函数，从而它的图像关于原点对称.于是只要先画出y=tan x在 上的一段图像，然后利用对称性就可以画出y=tan x在 上的一段图像. 已知三角函数值求指定区间内的角 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 探索 我们来讨论y=tan x在 上的单调性.设单位圆与x轴的正半轴的交点为A（1,0），过点A作圆的切线l.设角α的终边与l交于点T（1,y），如图5-24所示. 于是 从图5-24看出：当α从0逐渐增大到非常接近于 时，y从0逐渐增大到非常大的正实数，从而tan α从0逐渐增大到非常大的正实数.因此y=tan x在 上是增函数. 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 探索 列表： 描点：如图5-25所示. 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 探索 连线：由于y=tan x在 上是增函数，因此可以用一条光滑曲线把描出的各点顺次连接起来，得到y=tan x在 上的一段图像，如图5-25所示. 利用y=tan x的图像关于原点对称，可以画出y=tan x在 上的一段图像，如图5-25所示. 5.8 已知三角函数值求指定区间内的角 探索 利用y=tan x